数学奥林匹克高中训练题（126）

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1、中等数学浚孥游蜃禽鑫锄缘蹙(126)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)02-0038-08二、解答题(共44分)第一试9．(14分)已知tN+，t≠0，l(mod9)．一将从I、到的所有t位数按任意、填空题(每小题7分，共56分)1个t1、1．一副扑克牌除去大、小王共52张．洗顺序排成一行，记所得到的数为．求证：A好后，四个人顺次每人抓l3张．则两个红A不是完全平方数．(即红桃A、方块A)在同一个人手中的概率10．(15分)已知P是焦距为4的双曲为一22，2．已知oC：(一1)+(Y一2)=25及线C：-'-i一=l(8、b>

2、0)上一点，过P的直口D直线Z：(2口+1)+(0+1)Y=4a+46(口、b线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P、∈R)．若不论口取什么实数，直线z与oCP2，且3D户=OPl+2OP2，0为坐标原点．恒有公共点，则b的取值范围是——_．(1)设Pl(l，Y1)、P2(2，Y2)，证明：3．已知0、b、c∈R，且口+b+c=3．贝0X,lX,2一YlY2=9；3。o+3b+3c的最小值为一(2)试求当SAoe~e2取得最大值时双曲线4．关于的不等式的方程．2一4xsin+1≤cos2x11．(15分)已知圆周上有七个不同的的解集为一点，以其中任意一点为始点，另一点为终点

3、作5．设增函数)=一2．规定：给定实向量，作出所有的向量(对于点A、，若作出数的一个初始值口，赋值。=厂(o)，若≤向量A百，则不再作向量)．若其中某四点所2012，则再赋值：=)，以此类推；若一确定的凸四边形的四条边是首尾相接的四个≤2012，则赋值=一。)，否则停止赋值；向量，则称其为“零四边形”．试求以这七个若得到了，就称为赋值了t／,次(凡∈N+)．点中四个点为顶点的凸四边形中，零四边形一已知赋值了次后该过程停止了．则当实数个数的最大值．0存在时，实数k的取值范围是一6．已知[]表示不超过实数的最大整第二试OlO数．若P：2一厶l-了6／1，则JP被35除的余数为

4、、(50分)如图1，在以线段BC为直径的o0内有7．函数f(x)=l++~，／1一)的值一点A，AB≠AC，域为一BA与CA的延长8．设P(k)表示{1，2，⋯，凡}有k个不动线与o0分别交于点、Ⅳ，MAN和点的排列的种数．记口=∑k'P(后)．则MON的角平分05—10a4+35a3—50a2+25a1—2a。线交于点R．求证：图12010年第2期△BMR的外接圆与／xCNR的外接圆异于点的n∈R，有d≤5恒成立，即尺的那个交点必在边BC上．l46—3I~<5v／—5a2+6—a+2二、(50分)设实数口、6、c、满足口≥>0，对8∈R恒成立。易得6≥，c≥．求证：(5

5、a+6a+2)Ini=÷．—瓣+。—+。—．兰=一+6≥2．‘+c+口所以，14b一3J≤三、(5O分)试求最小的正整数肘，使得JjIf的所有正约数之和为4896．解此不等式得6∈【，】．，四、(50分)设n是正整数，集合S是数3．9．集A={mlm∈N+，且m≤，l}的一个子集，因为函数Y=3在(一∞，+∞)上是增且中任意两个数的差不等于4或7．若函数，由增函数的性质易知，对于任意的、的元素个数的最大值记为(如M，=l，2，都有(一：)(3一3毪)i>0，所以，：2)，试求∑．(口一1)(3。一3)≥O，即3。口一3。≥3o-3．参考答案同理，3‘6—3≥36—3，3c

6、一3≥3c～3．第一试将三个不等式相加且变形得．43。口+3b+3c一L’、≥3。+3+3+3(a+b+C)一9注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来=3。+3+3+3×3—9=3。+3+3c．了，即已将52张牌排在了52个位置上．记四又3+3+3>t3丽：39．组牌号为：当且仅当口=b=c=1时，上式等号成立．l，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50；故3口+36+3c的最小值为9．3，7，ll，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．4．{0}．则红桃A、方块A在同一组中的排列数原不等式可化为为M=4A，A．(一sin)≤0=一sinX=0．从而，所

7、求概率为P==．构造函数)=—sin．45-因为()=1一CO8≥0，所以，函数2．[3-，．学】．)=—sin在(一∞，+00)上是单调递增圆心G(1，2)，半径r=5．函数，且易知0)=0．故—sin=0只有一由点到直线的距离公式得圆心C到直个实数根0．进而知原不等式的解集为}0}。线Z的距离为5．(一)．d一!(±12±f±)=二!一一-_●_，．_。●。__H●。●。_-h_●●-‘●。。●。_-●●‘_。___-___一显然，k>0，1=玩一2．~／(2a+1)+(0+1)l46—3I当，l≥2时，有=kx一1—2．