数学奥林匹克高中训练题(55)

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1、中等数学■掌■#毫克宣中一●■(55)．E蜡烛的下端固定一个薄金属片(体积不计)，第一试使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上靖有1厘一、选择题(共36分，每小题6分)米高的部分露在水面以上，已知蜡烛密度为1．函数，(z)=，，z∈(一1，0)U(0，0．85克／立方厘米．现在点燃蜡烛，当蜡烛被1)．若不等式，(z)>lzl成立，则在a∈水淹没时，它所燃烧的总长度是()厘米．{一2，一l，一号，o，{，号，l，2{的条件下，n(A)鲁(B)辈(c)掣(D)掣可以取的值的个数是()．二、填空题(共54分，每

2、小题9分)(A)4(B)3(C)2(D)11．不等式lgz一志≤o的解是——一2．正四面体的4个正三角形面的12条中线能形成数值不同的n个锐角，则一的数2．适合方程t”19xs=器重筹器值是()．(A)4(B)5(c)6(D)7的最小正整数z=——．3．当n、b均为有理数时，称点P(口，b)3．在棱长为n的正四面体中嵌入一个圆柱体，使其高度恰为四面体高度的一半，而卜为有理点．又设A(／1998，0)，B(0，底与四面体的侧面相切．则这个圆柱体的表v厂j面丽)，则直线AB上()．面积为——．(A)不

3、存在有理点(B)仅有一个有理点4．M是圆z2+y2—6x一8．y=0上的动(c)仅有两个有理点点，o是原点，N是射线OM上的点．若(D)有无穷多个有理点IOM

4、．10NJ=150，则点N的轨迹方程是4．在复平面内，由复数{、南、(i一1)35．在扬辉三角中，每一个数值是它上面所对应的点构成的三角形的最大内角等于两个数值之和，这三角形开头几行如下：()．第0行1第l行11(A)”一&ODDOS壳‘B)一3⋯壳第2行121第3行1331(C)45。(D)120‘第4行l46415．若无穷递缩等比数列{

5、a．}满足那么，在杨辉三角的第——行会出现三个相3邻的数，它们的比是3：4：5．脚等等1嘉2等r+∞dt口t⋯t口”4’6．由以下条件分别给出数列{n。l：那么，该数列的公比q为()，(A，华(B)!芦①{r}是等比数列；②前≈项的和S。=m2+1；(c)华(D)量乎③n。>o，且n。=占(n，+n：+¨-+5．在一支长15厘米，粗细均匀的圆柱形ⅡpJ)，^≥2．万方数据万方数据2002年第2期45以上使{d。}是等差数列的是——(填序号)．三、(20分)已知点A(43，0)和曲线y=4鲁一1(2

6、≤z≤2拈)上的点P-、Pz、⋯、只．若JP，AI、lP2AJ、⋯、1只^I成等差数列且公差d∈({，击)，求n的最L大值．四、(20分)图1是吼4个腰长为1的等嘎直角三角形为侧一面的棱锥．其中的4个直角是／APD、么APB、ZPBe、么PDC．求棱锥的高．圈1五、(20分)已知，(z)=ax3+如2十c_r+d，且f(1)、f(0)、f(一1)、，(2)都是整数．求证：当z是整数时，，(z)也是整数．第二试一、(50分)已知△ABc的内切圆0I把中线AM三等分．求证：△ABc的三边之比为5：lO

7、：13．二、(50分)有三种股票，前两种的股数之和等于第三种的股数，第二种股票的总价值是第一种股票的4倍，第一、二种股票的总价值等于第三种股票的总价值，第二种股票每股比第一种股票贵1．5元到2元，而第三种股票每股的价值不小于4．2元而不大于6元．求在股票总量中第一种股票股数占总股数的百分比的最大值与最小值．三、(50分)已知置∈R，n，、b，∈z+(i=1，2，⋯，”)，令n=等窘器等，^：!!苎立丝垒!：：：!当苎。6I+62+⋯+b．求证：在z。，z：，⋯，z．中，必存在两个数zp和x。，满足

8、14一bI≤I口一z，I≤1．25。一．1VpI．参考答案第一试一、1A．记J=(0，1)U(一1，0)．耍使，(工)=，>lJ．，在，上应大于o，知a=一1、1、{显然不符合要求．当n=0时，，(x)=l，0l，I成立；当口=2时，在，上，“T)<1．z-j；当a=一2时，在，上．，(T)>1，0Irl；当a=一号时，“r)=lzI一，由击昌=ltl{及O

9、l<1，知f(工)>lzl．综上，。可取的值共有4个．2．B正四面体表面正三角形的中线所成角的余弦值有吉、{、吾、吾、{五种．3．A．设有理点P(n，6)在直线AB上，刚b：一宰些(口一,／I998)，√I998b2=徽(n2+l998—2。汀丽)．当n是非0的有理数时．b2是无理教，与P(n，6)是有理点矛盾．4．A．由÷2弋南3—1一i．(i一1)3=2+2i知它们所对应的点A、B、C如图2．△ABC的最大内角是ZA．由arcoc6A图2AB2+AC2一甜228”—司面F雨丁一