数学奥林匹克高中训练题(135)

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1、万方数据2010年第11期39筮营象游蜃隽霭睁锄铰墅(135)中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005-6416(2010)l】一0039一08第一试一、填空题(每小题8分，共64分)1．已知函数Jr(髫)=l。g。ax-x+丢)在区间[1，2]上恒正．则实数a的取值范围为2．设正实数a、b、C满足a2+b2+c2=1．则s=口2bc+ab2c+abc2的最大值为——．3．设a、卢、y分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角．则n+p+y的取值范围为——．4．在从小到大排列的10个数1，8，10，11，17，19，25，34，47，52中，若选取

2、连续若干个数的和能被9整除，则选取的概率为——．5．设函数八，1)定义在正整数集上，对于任一正整数n，有八八n))=4n+3，且对任一非负整数k，有以2‘)=2“1+1．则八2303)=——．6．如图1，设G、Ⅳ分别为AABC的重心、垂心，，为线段GH的中点，AABC外接圆的半径R=1．则I右I2+I赢12+I商12一●一图l27·设点P在双曲线彘一等=l除去顶点的右支上运动，E、，分别为其左、右焦点．设A为△PEF在么PEF内的旁心．则点A的轨迹方程为——．8．数列{a。}定义如下：a。=l，且当凡≥2时，rn孚+1，n为偶数；l‘％21j一，凡为奇数．I——，凡刀曰

3、双．Lan—I若o。=并，则正整数凡=——．二、解答题(共56分)9．(16分)设L(x)=sinh菇4-COS2“X(X∈R，，l∈N)．令5《(戈)吐(x)“(戈)以(戈)坛(戈)．求s的最大值和最小值．10．(20分)在△ABC中，若亟COSA鬻co嬲sBCOSC=万，+⋯’求证：AABC中至少有一个角为60。，11．(20分)若平面内有两个不重合的圆厂．、疋，是否存在点P，使得过P的无穷多对互相垂直的直线Z。和Z：分别与圆f．和圆厂：相交，且直线Z，被圆Jrl。截得的弦长与直线f：被圆n截得的弦长相等?如果存在，求出点JP；如果不存在，请说明理由．加试一、(40

4、分)如图2，凸四边形ABDF的两组对边的延长线分别交于点C、E，设01、02、03、04分别为AACF、△BCD、ADEF、△ABE的外心．求证：A040203∽△ACF，A010203∽△ABE，万方数据中等数学△020。01∽△DEF，△D4D103∽△BCD．二、(40分)设口、b、C为非负实数．求证：n1己7≯瓦了瓦而了万≤忑ii瓦，其中，“∑”表示循环和．三、(50分)求所有正整数k，使得给定序列al=a224，a。+2=(k-2)a。+l—a。+10—2k(n∈N+)中的每一项都是平方数．四、(50分)平面内有12个点，其中任意三点不共线，每两点连一条线段(

5、或边)．这些线段用红、蓝两色染色，每条线段恰染一色，其中，从某点A出发的红色线段有奇数条，而从其余11个点出发的红色线段数互不相同．求以已知点为顶点、各边均为红色的三角形个数及两边为红色、另一边为蓝色的三角形个数．参考答案第一试一、1．吉<口<詈或口>丁3．由ax2-x+丁1>o，得l、>；2a：h吣)．>—丁=(戈)·因为^，x)：导，当1≤菇≤2时，^’(茗)<0，所以，h(x)递减于是，(^(菇))一：^(1)：i1．从而，口>妻，且口≠1．当喜<口o，知虿1<口<詈．当Ⅱ>1时，／<石)在【1，2J上为增函数．由

6、八1)>0，知口>i3．2．{．由均值不等式和柯西不等式有a2bc+ab2c+abc2=abc(a+b+c)≤√(半)3·嗣寺当且仅当n=6=c=譬时，上式等号成立．3．2'3arcsin身在长方体中有sin2a+sin2卢+sin2y21．注意到sin2a=1一sin2／3一sin272cos2卢一sin2y=号(1+c。s帮)一÷(1一c。s2y)=cos(#+y)·cos(#一7)>0．因为卢、y均为锐角，所以，cos(卢一y)>0．从而，cos(#+y)>o，即卢+y<詈．同理，n+卢<詈，y+a<三2．注意到，，=c。s茹在(o，詈)上为上凸函数，由琴生不等式

7、有3co。鱼坐址韭砻必必I>cos(a+卢)+cos(#+y)+cos(3'+d)>tcos(a+／3)·COS(a一芦)+cos(#+T)·cos(#一y)+COS(7+a)·COS(7一a)=sin2a+sin硇+sin2y=1．则c。s半≥÷朋sin芈≤字．万方数据2010年第11期41故a+卢+7≤3arcsin鱼3．另一方面，Si’n2n=cos(／3+7)·cos(／3-y)i>cos2(／3+y)：siu2虿ff一卢一7)．注意到口、p+7均为锐角，则a>詈一卢叶从而，口+／3+y>季．又a珈+，伊加+，y一詈，有a+／3+