数学奥林匹克高中训练题

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1、2008年第6期29数学奥林匹克高中训练题(15)整数k(k≥2),都有第一试a2k+a2k-1≥d(a2k+2+a2k+1),一、选择题(每小题6分,共36分)则d的最大值等于().251.若集合M={x

2、x-x+a<0,x∈2114(A)(B)(C)(D)1742R,a为某个给定的实数}与集合6.在正方体的8个顶点、12条棱的中log(2-x)12N=x>1,x∈R点、6个侧面的中心点、1个体的中心点,这227个点中,共球面的8点组的个数是的交集为空集,则a的取值范围为().().33(A)a≤-(B)a≥-(A)4462(

3、B)4584(C)4590(D)460222二、填空题(每小题9分,共54分)11(C)a≤(D)a≥1+sinθcosθ441.若θ为实数,且<,1+cosθ1-sinθ2.若k是一个给定的实数,使得下列关θθ于a、b的方程组则y=sin-cos的取值范围是22a+3b-1=0,(用关于y的不等式表示).22a+b-4a-6b+13-k=02.设k是复数,关于x的一元二次方程有实数解,则k的取值范围是().21(A)k≥10(B)k≥12x+kx-2=0的两个复数根为x1、x2.若3(C)k≥15(D)k∈Rx1+2x2=k,

4、则k=.223.如图1,在四棱3.设实常数k使得方程2x+2y-5xy锥P-ABCD中,AB+x+y+k=0在平面直角坐标系xOy中表∥CD,∠ADC=90°,示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分PD⊥平面ABCD.若别在这两条直线上,且PA=PB=1,则PD=AD=AB=1,PA·PB=.CD=2,则平面PAD4.如图2,边长为与平面PBC所成的二图12的正△ABC的内切面角的平面角θ的正圆⊙I及边BC上的弦值sinθ等于().旁切圆⊙Ia与直线7303122AC围成的曲边三角(A)(B)(C)(D)3663形绕边BC的垂

5、直平4.记[x]表示不超过实数x的最大整分线旋转一周所形成数,{x}表示x的小数部分.则使得2007x+的旋转体的体积为图22008{x}=2009的所有实数x的个数是.2().35.函数f(x)=(6-x)(x-1)3(1≤x≤6)(A)0(B)1(C)2(D)3的最大值等于.5.设a1=b1=1,an+1=2bn+1,32326.方程2x+6x+12x+8+xx+1bn+1=2an-1(n=1,2,⋯).32+(x+2)(x+2)+1=0的所有两两不若d是一个实常数,使得对于每一个正©1994-2009ChinaAcadem

6、icJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net30中等数学同的实数解的个数为.限多个?其中,m、n均为大于100且小于三、(20分)设m(m≥2)是正整数,m个170的正整数,且m-n≥50;a1,a2,⋯,am,正数a1,a2,⋯,am满足条件:b1,b2,⋯,bn均为两两不相等的小于6的正2(1+n)an=nan-(n+1)an+1(n=1,2,⋯,m-1).有理数,且a1

7、2,⋯,m).bn;x1,x2,⋯,xm,y1,y2,⋯,yn均为大于1nnxx且小于5的正整数,同时,a121,a2,⋯,四、(20分)设k是一个给定的非零实xyyy2am,b11,b22,⋯,bn两两不相等,且amni+1数,在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方2222222-b1,ai+2-b2,⋯,ai+n-bn(i=0,1,⋯,mxy程为x≠y且=,点A(k,k).-n)也两两不相等.请说明理由.k-xk+y(1)设P是C1上的任意一点,试求线段参考答案AP的中点Q的轨迹C2的方程,并指出曲线第一试C2的类型和位置;

8、一、1.D.(2)求出C1、C2在它们的交点B处的各1自切线之间的夹角θ(锐角)(用反三角函数N=x2->1,x∈Rx式表示).=x1

9、点P在劣弧8645225AB上(P不与A、B重故f(x)=-(x-)+(1