数学奥林匹克高中训练题

《数学奥林匹克高中训练题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2005年第11期41数学奥林匹克高中训练题(82)11第一试(C)-3(D)-22n一、选择题(每小题6分,共36分)6.对正整数n而言,3

2、n是7

3、(2-1)的1.在6个产品中有4个正品、2个次品.().现每次取出1个作检查(查完后不再放回),(A)充分不必要条件直到2个次品都找到为止.则经过4次检查(B)必要不充分条件恰好将2个次品全部找到的概率是().(C)充分必要条件1214(D)既不充分也不必要条件(A)(B)(C)(D)1515515二、填空题(每小题9分,共54分)2.已知a>0,b>0,c>0,α、β∈(0,π).1.已知a、

4、b都是非零向量,且a+3b与记7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直.则aM=a2+b2-2abcosα+b2+c2-2bccosβ,与b的夹角为.N=a+c.3+7x3+72.不等式>的解为则M、N的关系为().1+x2(A)M>N(B)M=N(C)M

5、1,A2,⋯,(C)多于2的有限个(D)无限个An(n≥2),今在这些点上染红色,要求不得4.如图1,在正方有相邻的红色点,其染色方法数为an,且a2体的一角上截取三棱=3,a3=5.则an、an-1、an-2所满足的递推关锥P-ABC,PO为棱系为.锥的高.记5.称直角坐标系中纵横坐标均为整数的11M=PO2-PA2-图1点为“格点”,称一格点沿坐标线到原点的最11短路程为该点到原点的“格点距离”,格点距2-2.PBPC离为定值的点的轨迹称为“格点圆”,该定值则().称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为(A)M>0(B)M=0一条半径.当格

6、点半径为2005时,格点圆的(C)M<0(D)不能确定半径有条.x25.复数z1=a+bi,z2=b+ci,z3=6.设f(x)=a(a>0),g(x)=x.则满足c+ai.若2

7、z1

8、=

9、z2

10、=

11、z3

12、=2,则ab+f(x)=g(x),bc+ca的最小值为().f′(x)=g′(x)55(A)-(B)-的x=,且a=.24©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net42中等数学2三、(20分)在抛物线

13、y=ax(a>0)的(1)第4次检查取到的是第2个次品,而前3次111上方,求与抛物线相切于原点的最大圆的方检查取到的是2个正品、1个次品,有m1=3C4C3C2程.=72种取法.(2)4次检查取到的全是正品,剩下的2个便是四、(20分)在单位正方体ABCD-1111次品,有m2=C4C3C2C1=24种取法.A1B1C1D1中,E、F、G分别为棱AB、BC、1111又因为检查4次的方法总数为n=C6C5C4C3=BB1的中点.求证:D1G⊥面B1EF.360种,故经过4次检查找出2个次品的概率为22五、(20分)给定椭圆x+y=1和圆x2m1

14、+m272+244a2b2P===.n36015222+y=a+b,任作2.D.一直径CD交椭圆于以a、b为边,α为夹角可作一个三角形;以b、cP.在CD的一侧,以为边,β为夹角又可作一个三角形.将这两个三角形沿边b拼接在平面上,会出现三种可能.如P为圆心、PF1为半2π径画弧交圆于点A;(1)a=b=c=1,α=β=3时(图3(a)),在CD的另一侧,以M=23>2=N;P为圆心、PF2为半图2π(2)a=b=c=1,α=β=时(图3(b)),径画弧交圆于点B.3M=2=N;求证:A、P、B三点共线.π(3)a=c=3,b=2,α=β=时(图

15、3(c)),第二试6M=2<23=N.一、(50分)在单位正△ABC内任取一点P,以PA、PB、PC为边生成△A1B1C1.(1)当△A1B1C1分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时,求出点P的轨迹.(2)证明:当△A1B1C1的周长取最小值时,面积取最大值.图3234二、(50分)证明:三元方程x+y=z有无穷个正整数解.3.D.三、(50分)已知S={1,2,⋯,100},由2S1=a1+1,得a1=1.A={x1,x2,⋯,x16}.又由已知有224Sn=(an+1),4Sn+1=(an+1+1).求证:对任意的A

16、两式相减得4元分拆:224an+1=(an+1+1)-(an+1),A1∪A2∪A3∪A4=A,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.Ai∩