2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版.pptx

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1、2.2.2反证法1．反证法假设原命题_______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了___________，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________矛盾，或与____矛盾或与____________________矛盾等．不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实1．反证法是()A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法

2、的证明方法【答案】A2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【答案】C3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的说法为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D4．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________________．【答案】x＝a或x＝b【解析】

3、否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.【例1】设a，b，c，d∈R且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【解题探究】此题结论为否定形式的命题，可考虑用反证法进行证明．“否定”型命题1.一般当题目中含有“不可能”“都不”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2.用反证法证明数学命题的步骤：（1）反设.假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.（2）归谬.从反面和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.（3）存真.由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.

4、1．已知a，b，c是一组勾股数，即a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．证明：假设a，b，c都是奇数，∵a，b，c是一勾股数，∴a2＋b2＝c2.(*)∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2也都是奇数．∴a2＋b2是偶数，这样(*)式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾．∴a，b，c不可能都是奇数．【例2】已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．【解题探究】结论以“只有一个”形式出现，可采用反证法进行证明．“唯一”型命题证明：如图．假设过直线a且平行于直线b的平面至少有两个，分别为α和β，在直线

5、a上取点A，过b和A确定一个平面γ且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d.由b∥α，知b∥c，同理b∥d.故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾．故假设不成立，原结论成立．“唯一”型命题从正面往往难于证明，可采用反证法假设不唯一，经推理得出矛盾．值得注意的是，若命题中含有“有且只有”“唯一存在”等语句，则既要证明存在性，又要证明唯一性．2．求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明：x＝log23时，2x＝3.这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2

6、b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．“至多”“至少”型命题题目叙述中有“至少”“至多”等字眼，用反证法证明可减少讨论情况．此外，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等词的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现错误．3．若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一

7、个实根．反设出错致误【例4】已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加，有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.由题意a，b，c互不相等，可知上式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【警示】用

8、反证法证明含有“至少”“至多”等字眼的命题时，一定要先写出正确的否定．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出