2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习（含解析）新人教A版.docx

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1、2.2.2反证法[A　基础达标]1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是（　　）A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角解析：选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

2、a

3、＋

4、b

5、<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设该方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

6、x1

7、≥1.下列说法中正确的是（　　）A.①与②的假设都错误B.①与

8、②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（　　）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数（　　）A.至少有一个不大于2B.都小于2C

9、.至少有一个不小于2D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞

10、∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为　　　　.解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7.完成反证法证题的全过程.设a1，a2，…，a7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，p＝（a1－1）（a2－2）…（a7－7），求证：p为偶数.证明：假设p为奇数，则　　　　　　均为奇数.因为7个奇数之和为奇数，故有（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为　　　　　　.①而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a

11、2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝　　　　　　Ｗ.②①与②矛盾，故假设不成立，故p为偶数.解析：由假设p为奇数，可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）为奇数，而（a1－1）＋（a2－2）＋…＋（a7－7）＝（a1＋a2＋…＋a7）－（1＋2＋…＋7）＝0，矛盾，故假设不成立，故p为偶数.答案：a1－1，a2－2，…，a7－7　奇数　08.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是　　　　（填序号）.解析

12、：若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2＞2，故④不能推出.对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③9.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明：如图所示，连接AB，假设AC⊥平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以AC⊥SO.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB，所以SO⊥

13、平面SAB，所以平面SAB∥底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.10.已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.证明：假设，都不小于2，即≥2，≥2.因为x>0，y>0，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x，所以2＋x＋y≥2（x＋y），即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，所以，中至少有一个小于2.[B　能力提升]11.若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为　　　　　　.解析：假设三个方程均无实数根，则有解得即－＜a＜－1

14、，所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根.答案：∪[－1，＋∞）