2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法讲义新人教A版.docx

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1、2.2.2　反证法1．反证法是间接证明的一种基本方法．假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设

2、”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证

3、明问题的方法．(　　)(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　)(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√2．做一做(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一解，适宜用________证明．(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a>b，则>”时，假设的内容是________．答案　(1)反证法　(2)a，b都不能被5整除　(3)≤探究　　

4、用反证法证明否定性命题例1　已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明]　假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＝－，由0

5、b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.所以2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.所以a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0，所以a＝b＝c＝d＝0，所以ad－bc＝0，这与ab－bc＝1矛盾，从而假设不成

6、立，原命题成立，即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.探究　　用反证法证明“至多”“至少”型命题例2　已知a，b，c是互不相等且均不为0的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[证明]　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式

7、求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】　求证下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根时实数a的取值范围为.证明　若方程没有一个有实根，则解得－

8、范围是.探究　　用反证法证明唯一性命题例3　用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]　由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b，这与假设b∩b′＝A矛盾，所以