高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法习题新人教版

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1、第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法A级　基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用(　　)①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②　　　　　　　B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋a

2、x＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(　　)A．①②③B．③①②C．①③②D

3、．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于(　　)A．0B.C.D．1解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<

4、1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和

5、为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an

6、＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：0三、解答题9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：<2和<2中至少有一个成立．证明：假设<2和<2都不成立，即≥2，≥2.又因为x，y都是正数，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2，这与题设x＋y>2矛盾，所以假设不成立．故<2和<2中至少有一个成立．10．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列

7、．证明：假设a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级　能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值(　　)A．都大于2B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于2解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2则a＋<2，b＋<2，

8、c＋<2∴a＋＋b＋＋c＋<6，①又a，b，c大于0所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，