高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明-反证法优化练习

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1、2.2.2反证法[课时作业][A组　基础巩固]1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是(　　)A．a＜b　　　　　　　　　B．a≤bC．a＝bD．a≥b解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.答案：B2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为(　　)A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负

2、数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.答案：A3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，

3、证明对任意正整数n都有xn＞xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应是(　　)A．对任意正整数n有xn≤xn＋1B．存在正整数n使xn≤xn＋1C．存在正整数n使xn＞xn＋1D．存在正整数n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1解析：“对任意正整数n都有xn＞xn＋1”的否定为“存在正整数n使xn≤xn＋1”．答案：B5．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中(　　)A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：＋＋＝＋＋∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋＝－

4、≤－2，b＋＝－≤－2，c＋＝－≤－2，∴＋＋≤－6，∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证∠BAP<∠CAP

5、.用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为_____

6、___．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a≥－1，求证以下三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⇒⇒－＜a＜－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得

7、等式＋＝成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋)2＋y2＝0.由y≠0，得y2>0.又(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋y2>0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．[B组　能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话

8、都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能