高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明1练习

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时间:2019-06-29

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1、2.2直接证明与间接证明(1)A级 基础巩固一、选择题1.关于综合法和分析法的说法错误的是( C )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法D.分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析] 综合法是由因导果,分析法是执果索因,故选项C错误.2.“对任意角θ,都有cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了

2、( B )A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.间接证法[解析] 证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式,因此是综合法.3.若ab+C.b+>a+D.<[解析] ∵a,又∵b>a,∴b+>a+.4.p=+,q=·(m、n、a、b、c、d均为正数),则p、q的大小为( B )A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定[解析] q=≥=+=p.65.已知函数f(x)=x,a、b∈R+,A=f,B=f(),C=f,则A

3、、B、C的大小关系为( A )A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A[解析] ≥≥,又函数f(x)=()x在(-∞,+∞)上是单调减函数,∴f()≤f()≤f().二、填空题6.如果a+b>a+b,则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0,b≥0__.[解析] a+b>a+b⇔a+b-a-b>0⇔a(-)+b(-)>0⇔(a-b)(-)>0⇔(+)(-)2>0只需a≠b且a、b都不小于零即可.7.在算式30-△=4×□中的△,□内分别填入两个正数,使它们的倒数和最小,则这两个数构成的数对(△

4、,□)应为__(10,5)__.[解析] 设(△,□)为(a,b),则30-a=4b,即a+4b=30,+=(+)·=≥=,当且仅当=,即a=2b时等号成立.又有a+4b=30,可得a=10,b=5.三、解答题8.若a、b、c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.[解析] 解法一(分析法):要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc,即要证lg(··)>lg(abc),只需证··>abc.6∵≥>0,≥>0,≥>0,∴··≥abc>0.(*)又∵a、b、c是不全相等的正数,∴(*)式

5、中等号不成立,∴原不等式成立.解法二(综合法):∵a、b、c∈R*,∴≥>0,≥>0,·≥>0.又∵a、b、c是不全相等的正数,∴··>abc.∴lg(··)>lg(abc).∴lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.B级 素养提升一、选择题1.设0=a,∴a0”是“△ABC为锐角三角形”的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分

6、条件C.充要条件D.既不充分与不必要条件[解析] ∵·>0,∴∠A为锐角,但∠B、∠C的大小不确定,故选B.3.在R上定义运算⊙︰a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为( B )A.(0,2)B.(-2,1)6C.(-∞,-2)∪(1+∞)D.(-1,2)[解析] x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0⇒x2+x-2<0⇒-2bB.ab>0且a>bC.ab<0且a0且a>b或ab<0且a

7、0时,有<,即b,即b>a.二、填空题5.已知a>0,b>0,m=lg,n=lg,则m与n的大小关系为__m>n__.[解析] 因为(+)2=a+b+2>a+b>0,所以>,所以m>n.6.已知sinx=,x∈(,),则tan(x-)=__-3__.[解析] ∵sinx=,x∈(,),∴cosx=-,∴tanx=-,∴tan(x-)==-3.7.若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β

8、)= - .[解析] 条件变为sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ,两式平方相加可推得结论cos(α-β)=-.三、解答题8.已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.[分析] 这是一个条件不等式的证明问题,要注意观察不等式的结论特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明.[解析] 解法一

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