2.2 直接证明与间接证明

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1、2.2直接证明与间接证明（1）综合法：从题设的出发，运用一系列有关作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由到，表现为，综合法的解题步骤用符号表示是：.特点:“由因导果”，因此综合法又叫顺推法．已知条件已确定真实的命题求证由因索果结论题设充分条件执果索因已知（2）分析法：分析法的推理方向是由到，论证中步步寻求使其成立的，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为，分析法的证题步骤用符号表示为.特点：“执果索因”，因此分析法又叫逆推法或执果索因法。1．直接证明2

2、．间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．（1）反证法的解题步骤：――推演过程中引出矛盾――。（2）反证法的理论依据是：原命题为真，则它的为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的成立。否定结论肯定结论逆否命题逆否命题（3）反证法证明一个命题常采用以下步骤：①假定命题的结论不成立，②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾，③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错

3、误的。④肯定原来命题的结论是正确的。即“反设——归谬——结论”（4）一般情况下，有如下几种情况的证题目常常采用反证法第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的。【基础自测】1．设则“PQR＞0”，是“P、Q、R同时大于0”的（　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

4、D．既不充分也不必要条件,2．（2009济南市月考）对任意的锐角，下列不等式成立的是（　　）A．C．B．D．CD4．(2008佛山一模文)观察：；；；….对于任意正实数a，b,试写出使成立的一个条件可以是____.3．设函数满足且，则192用综合法证明数学命题已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，是圆周上不同于的任一点，过A点作AE⊥PC于点E(如图2.2-1).求证：AE⊥平面PBC.图2.2-1【思路分析】用综合法，根据线面垂直的判定定理，只要证AE与平面PBC内的两条相交直线垂直即可。证明：（1）∵PA⊥平面ABC

5、，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC.又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC.【点评与感悟】证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面，则直线b⊥平面”。”。用分析法证明数学命题（07临沂月考）若a>0，求证：【思路分析】可用分析法。综合运用综合法、分析法证明数学命题（（（理科）（08天津卷20）在数列中，，，且）．（Ⅰ）设），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通

6、项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．【思路分析】观察题设条件中数列的项之间满足的递推关系，着眼于问题的合理转化．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．考查综合解题能力。观察题设条件中数列的项之间满足的递推关系。着眼于问题的合理转化。（Ⅰ）证明：由题设（），得，即．，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）……，（）．所以当n≥2时，上式对显然成立．将以上各式相加，得（）．整理得，解得（Ⅲ）解：由

7、（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，　①或（舍去）．于是另一方面，由①可得所以对任意的是与的等差中项．，．用反证法证明数学命题已知：a3+b3=2,求证：a+b【思路分析】本题直接证明命题较困难，宜用反证法。证明：假设a+b>2则b>2-a。于是a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥2。与已知相矛盾，所以,a+b【点评与感悟】正难则反。高考创新题型预测：考查与数列有关的新概念的及与旧知识整合的能力问题【样题】如果有穷数列（为正整数）满足条件，…，，，即（），我们称其为“对称数列

8、”．例如，数列与数列都是“对称数列”．（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设{Cn}是49项的“对称数列”，其中C25,C26,….,C49,是首项为1，公比为2的等比数列，求{Cn}各项的和S；（3）设{dn}是100项的“对称数列”