2.2直接证明与间接证明

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1、直接证明与间接证明§2.2例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:练习：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…特点:“由因导果”例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，

2、a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．练习：求证：对于任意角θ，cos4θ-sin4θ=cos2θ回顾基本不等式：(a>0,b>0)的证明.证明:因为;所以所以所以成立证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立6一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论…例3．求证：证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式成立。练习

3、：P89练习2证:例4：练习：P89练习3思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反例5求证：是无理数。假设不成立，故是无理数。1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的条件矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（2）与假设矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结

4、论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。2、你认为反证法的使用情形有那些？反思2：（4）与客观事实矛盾.说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（>）小于(<)是都是否定正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个练习：P91练习1、2作业：作业：P91A组3、4B组3