2020版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习（含解析）新人教A版

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1、2.2.2　反证法课时过关·能力提升基础巩固1.实数a,b,c不全为0是指(　　)A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至少有一个为0C.a,b,c中至多有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0解析:“不全为0”并不是“全不为0”,而是“至少有一个不为0”.答案:D2.当用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设(　　)A.三角形的三个内角都不大于60°B.三角形的三个内角都大于60°C.三角形的三个内角至多有一个大于60°D.三角形的三个内角至多有两个大于60°解析:因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是

2、“三角形三个内角没有一个不大于60°”,即“三角形三个内角都大于60°”,故选B.答案:B3.当用反证法证明命题“若系数为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有有理数根,则a,b,c中存在偶数”时,否定结论应为(　　)A.a,b,c都是偶数B.a,b,c都不是偶数C.a,b,c中至多有一个偶数D.a,b,c中至多有两个偶数解析:“a,b,c中存在偶数”,即“a,b,c中至少有一个偶数”,其否定为“a,b,c都不是偶数”.故选B.答案:B4.当用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(　　)A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程

3、x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A5.当用反证法证明命题“在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”时,应假设　　　　　. 答案:a≤b6.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是　　　　　　　　　　. 答案:关于x的方程ax=b(a≠0)无解或至少有两个解7.当用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”时,应当假设　　　　　　　. 答案:x=a或x=b8.当用反证法证明“已知f(x)=x2+px+q,求证:

4、f(1)

5、,

6、f(2)

7、,

8、f(3)

9、中至少有一

10、个不小于12”时的假设应为__________________________. 解析:“至少有一个”的反设词为“一个也没有”.答案:

11、f(1)

12、,

13、f(2)

14、,

15、f(3)

16、都小于129.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:1a,1b,1c不可能成等差数列.分析:本题题设条件较少,且求证的结论中有“不可能”这个词,故考虑用反证法证明.证明假设1a,1b,1c成等差数列,则2b=1a+1c,所以2ac=bc+ab.①因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.②把②代入①,得2ac=b(a+c)=b·2b.所以b2=ac.③由②平方,得4b2=(a+c)2.④把③代入④,得

17、4ac=(a+c)2,所以(a-c)2=0.所以a=c.代入②,得b=a,故a=b=c,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾,因此假设错误.故1a,1b,1c不可能成等差数列.能力提升1.当用反证法证明“已知a,b,c均为实数,且a=x2-2y+π2,b=y2-2z+π3,c=z2-2x+π6,求证:a,b,c中至少有一个大于0”时,正确的假设是(　　)A.a,b,c均小于0B.a,b,c均不大于0C.a,b,c中至多有一个不大于0D.a,b,c中至多有一个小于0答案:B2.已知两条相交直线l,m都在平面α内且都不在平面β内.命题甲:l和m中至少有一条与平面β相交,命题乙:平面α与β

18、相交,则甲是乙的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若已知α与β相交,设交线为a,假设l,m都与平面β平行,则a∥l,a∥m,所以l∥m,这与已知l与m相交矛盾,所以乙⇒甲.若已知l,m中至少有一条与平面β相交,不妨设l∩β=A,则点A∈α,且点A∈β,所以点A必在α与β的交线上,即甲⇒乙.故选C.答案:C3.已知实数a,b,c满足a+2b+c=2,则(　　)A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于12解析:假设a,b,c均小于12,则a+2b+c<12+1+12=2,与已知矛盾,故选

19、D.答案:D4.★如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么(　　)A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析:因为三角形内角的正弦值是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐