高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教a版选修2

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1、2.2.2　反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答　这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明

2、，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一　用反证法证明“至多”“至少”型命题例1　已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.证明　假设，都不小于2，即≥2，≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋

3、y>2矛盾．∴，中至少有一个小于2.规律方法　对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明　假设a，b，c，d都是非负数，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数

4、．要点二　用反证法证明不存在、唯一性命题例2　求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．证明　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，所以由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤由④知x1

5、＋x2＝，代入⑤整理得：ak＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．规律方法　证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．跟踪演练2　求证方程2x＝3有且只有一个根．证明　∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝

6、3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．要点三　用反证法证明否定性命题例3　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(

7、1)解　设公差为d，由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法　(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，

8、可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的