高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版.pptx

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1、2.2.2反证法自主学习•新知突破1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．了解反证法的思考过程、特点．3．理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．思考：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？[提示]假设C没有撒谎，则C真.那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立，则C必定是在撒谎．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．[问题1]你能利用综合法和分析法证明该问题吗？[提示1]不能．[问题2]a，b，c不可

2、能都是奇数的反面是什么？[提示2]都是奇数．假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫作反证法．反证法的定义不成立假设错误原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与_______________矛盾，或与___________矛盾，或与______________________________矛盾等．反证法常见的矛盾类型已知条件假设定义、公理、定理、事实反证法的实质及注意事项：(1)反证法的实质反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面

3、入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．(2)注意事项①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．②反证法的“归谬”要合理．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．答案：C2．用反证法证明：“若a，b两数之积为0，则a，b至少有一个为0”，应假设()A．a，b没有一个为0B．

4、a，b只有一个为0C．a，b至多有一个为0D．a，b两个都为0解析：“至少有一个”的反设是“一个也没有”，故应假设a，b没有一个为0.答案：A3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②4．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.证明：假设ab＋bc

5、＋ca>0，因为a2＋b2＋c2≥0，则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.合作探究•课堂互动用反证法证明否(肯)定式命题平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．1.结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(

6、3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．1．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．“至多”、“至少”型命题已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点．假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.2分由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.5分同向不等式求和得：4b2＋4

7、c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤07分∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤08分∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤09分∴a＝b＝c10分这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.12分1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是是p或qp且q反设词不

8、都是不是綈p且綈q綈p或綈q用反证法证明唯一性问题已知a与b是异面