2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步课件新人教A版.pptx

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1、2.2.2反证法第二章§2.2直接证明与间接证明学习目标1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　反证法的定义思考　在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④√梳理　一般地

2、，假设不成立，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是的一种基本方法.原命题矛盾间接证明知识点二　反证法的理论依据思考　反证法解题的实质是什么？答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理　由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性.根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法.也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立

3、)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立.知识点三　反证法的一般步骤思考(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？答案　常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾.(2)反证法适用范围主要有哪些方面？答案　一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.梳理　反证法的证题步骤(1)反设：假设所要证明的结论不

4、成立，即假设结论的反面成立.(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等.(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立.1.反证法属于间接证明问题的方法.()2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.()[思考辨析判断正误]√√×题型探究例1反证法是A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题

5、的证明D.分析法的证明方法类型一　反证法概念的理解答案解析√解析　反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立.反思与感悟　对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立.跟踪训练1(1)命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是A.ab”的否定应为“a＝b或a

6、有有理数根，则a，b，c中存在偶数”时，下列假设正确的是____.(填序号)①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数.答案解析解析　“a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”.②命题角度1证明一般性命题类型二　反证法的应用证明反思与感悟　用反证法证明数学命题步骤：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不

7、成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.证明从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，证明命题角度2证明“至多、至少、唯一性”问题又∵x，y都是正实数，∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，∴假设不成立，原命题结论正确.反思与感悟　常用的“原结论词”与“反设词”如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个跟踪训练3已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明证明　假设方程f(x

8、)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明命题角度3证明否定性命题∴2ac＝bc＋ab.①又a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.②∴2ac＝b(a