2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步学案新人教a版

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1、2.2.2　反证法学习目标　1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系．知识点一　反证法的定义思考　在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是(　　)①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案　C梳理　一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此

2、说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法．知识点二　反证法的理论依据思考　反证法解题的实质是什么？答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．梳理　由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)

3、，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．知识点三　反证法的一般步骤思考　(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？(2)反证法适用范围主要有哪些方面？答案　(1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾．(2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等．梳理　反证法的证题步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)归谬：由“反

4、设”出发，通过正确的推理，得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等．(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立．1．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　)2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　×　)3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　)类型一　反证法概念的理解例1　反证法是(　　)A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法考

5、点　反证法及应用题点　如何正确进行反设答案　A解析　反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立．反思与感悟　对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立．跟踪训练1　(1)命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是(　　)A．a

6、(填序号)①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数．考点　反证法及应用题点　如何正确进行反设答案　(1)B　(2)②解析　(1)“a>b”的否定应为“a＝b或a

7、设＋为有理数，易知(＋)(－)＝a－b，由a>0，b>0，得＋>0，∴－＝.∵a，b为有理数，且＋为有理数，∴为有理数，即－为有理数，∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数，从而也应为有理数，这与为无理数矛盾．∴＋是无理数．反思与感悟　用反证法证明数学命题步骤：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差

8、数列．考点　反证法及应用题点　反证法的应用证明　假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.又b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝，从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．命题角度2　证明“至多、至少、唯一性”问题例3　若x，y均是正实数，且x＋y>2，求证：<2和<2中至少有一个成立．考