2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版.docx

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1、2.2.2　反证法　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.　2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.反证法的定义及证题关键对反证法的三点说明（1）反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.（2）反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”写成“设”.（3）并非所有问题都可采用反证法证

2、明，只有当问题从正面求解不好处理或较烦琐时，才考虑反证法.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（　　）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理.（　　）（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（　　）答案：（1）√　（2）×　（3）√应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（　　）①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论.A.①②　　　B.①②④　　　C.①②③　　　D.②③答案：C命题“

3、△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是（　　）A.a＜bB.a≤bC.a＝bD.a≥b答案：B用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为　　　　Ｗ.解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的.答案：③①②探

4、究点1　用反证法证明否定性命题　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即（a＋b）2＋（c＋d）2＋（a－d）2＋（b＋c）2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.（1）用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“

5、不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.（2）用反证法证明数学命题的步骤　　已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.证明：假设a，b，c构成等差数列，则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以（a－c）2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等

6、矛盾.故a，b，c不成等差数列.探究点2　用反证法证明唯一性命题　若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续不断，且f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上单调递增，求证：f（x）在（a，b）内有且只有一个零点.【证明】　由于f（x）在[a，b]上的图象连续不断，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·f（b）<0，所以f（x）在（a，b）内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m）＝0.假设f（x）在（a，b）内还存在另一个零点n，即f（n）＝0，则n≠m.若n>m，则f（n）>f（m），即0>0，矛盾；若n

7、，则f（n）

8、线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立.探究点3　用反证法证明“至多”“至少”命题　设f（x）＝x2＋bx＋c，x∈[－1，1]，证明：当b＜－2时，f