2018届高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步课件新人教B版选修.pptx

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1、2.2.2反证法第二章§2.2直接证明与间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想？思考2反证法解题的实质是什么？答案　运用了反证法思想

2、.答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理(1)反证法的概念一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与矛盾，或与____矛盾，从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法.(2)反证法常见的几种矛盾①与假设矛盾.②与、定理、公式、定义或矛盾.③与矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).假设某个真命题綈qq数学公理已被证明了的结论公认的简单事实(3)反证法证明数学命题的一般步骤①分清命题的.②做出与命题相矛盾的假设.③由出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果.④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的不真，于是_______成立，从而间接地证明命题

3、为真.条件和结论结论假设假定原结论1.反证法属于间接证明问题的方法.()2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.()[思考辨析判断正误]√×√题型探究类型一　用反证法证明否定性命题证明∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②∴a＝c，从而a＝b＝c.这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，∴假设不成立.反思与感悟　对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.证明

4、证明　假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.跟踪训练1已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1

5、.反思与感悟(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个证明跟踪训练2已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有

6、两个不同的交点，由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.类型三　用反证法证明唯一性命题证明例3求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明　∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有

7、根.下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则＝3,＝3，两式相除得＝1，∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.∴假设不成立，从而原命题得证.反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.证明证明　设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点.(1)若直线