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1、谈谈高等数学在初等数学教学中的应用上海科技大学楼世拓有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不。,,“”。大我们却认为要把初等数学教好不仅要学习高等数学而且还一定要学好“”,“”,学好高等数学是指不仅要学习它的定理和方法更重要的是要学习它的观点,也即必须掌握高等数学处理问题的特点并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学。中去,,众所周知我们可以用求导数的方法来求函数的极值用微分学中值定理来证明一些不、、。等式用行列式来求线性方程组的解用空间解析几何来解立体几何的一些问题可能有些,,同志会说即使熟练地掌握了这些内容也不能对中学生讲因而在初等数学
2、教学工作中还。,,,是用不上但是我们应该注意到学好高等数学不仅要学会这些方法而且要了解这些方。法的精神实质以及为什么要这样处理问题这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思。,想我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧这些方法是完全,,、初等的可以为中学生所接受的而应用这些方法都可以将相当数量的表面上看来完全无。。关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出同时也可以简化一些初等数学中的难题的证明,,。在本文中我们将介绍一类方法供有兴趣的同志参考,高等数学的重要性不仅在于它的方法在初等数学中有广泛的应用而且在于用高等数学“”“”,的观点往往可以揭示为什么这样做和应该怎
3、样做从而使学生不仅知其然而且知其。,,所以然我们知道作为一个教师如果不了解所讲授的问题中的条件提出的原因也不知,,,。道问题的来源而仅仅知道每一道题该怎么做那么他也许难以将有关的概念讲授清楚。,下面介绍证明不等式和求极值的一种方法这种方法是完全初等的是由高等数学中有。关求极值的内容引伸出来的它将初等数学中表面上看来无关的大量题目统一在一种解法之。中一不等式与极值的关系证明不等式可以归结为证明》或。,,这里是维空间的一个向量二⋯是的函数讨论不等式等价于证明在。的定义域中的最小值为非负一,。,反之证明函数在维空间的子集上的最小值在上取到等价于证明当任时。,由此可见我们可以把一个不等式
4、的证明看成一个求最小值或最大值的问题一一二求极值的方法。。二一。函数在达到最小值等价于从变化到的函数变化值△是大于。。或等于零的也就是说函数值改变量△保持定号我们可以用研究当自变量变化时△的符。。,号来讨论极值问题并由此导出一种证明不等式的初等方法为了叙述方便起见这里仅以。一些习题为例、、,例是二角形三个内角试让,‘气,用上述观点我们证明式改为证明式左边的函数、。‘八、、勺‘“’‘’万丁丁,,,,二二“,当是三角形三个内角时极大值不超过又由于当时。。、飞,,、一只匕,,二”,可知我们仅需要证明的极大值点必满足我们证明它的逆否命,“,,,,”。题即证明当,不全相等时必不能取到极大值
5、而我们再化为证明,,,,,,,,命题当是三角形三个内角且不全相等时必可以找到,,,,,解满足是三角形三个内角且成立。一,。」‘’‘““‘“一旦丁丁丁气玄,、、,、、曰,、,,,,,、二。,。,平沪,石,,‘我们不妨设特别取丈飞,‘、广、十,‘万火了飞个夕,灿一勺少翎、少工、乞,乙乙,‘”一“”‘”‘”百、由积化和差公式易见式等价于,““簇‘十自一一直一,,。但式是成立的可见式成立命题得证,用上述方法还可以证明许多不等式例如,,,,例设是凸四边形的四个内角求证一万‘”“‘丁丁浪五二二究,,,,,,解当时式成立等号问题化为当不全相等时笋,,,,,,,,,例如找寻为凸四边形四内角且成立
6、一一一一,,,,一‘‘‘‘麦汽一厄、、二‘,、,、,“,,。特别取告告时式化为式命题得证,。用完全同样方法可以证明下列命题读者不妨自行证明之,⋯。,例设是凸六边形六个内角求证·‘·‘”。一簇舒遥飞一飞一么一““,例若求证·。《、一一鲁丫二,,若日且日》》求证‘十‘日‘丫鲁,,,例若是三角形三个内角求证一十十万气斌万万石乙乙三方法的修正。,上面的证明方法是不很完善的因为在证明中实际上用到了函数的最小值必然存在。但这一点又没有证明,。,尽管证明不很完善我们还是从这里开始介绍这种方法主要原因为第一有很多问题,,中最小值的存在性是由题设条件给出的例如证明某函数的极值必在某点达到也有些题目
7、,,最小值的存在是易证的例如自变量只能取到有限个值这两种情况应用上述方法是很。,“”。完整的第二对于其他的问题我们也可以用上述证明的思想,上述方法的主要想法是将不等式的证明化成极值讨论而极值的讨论只要看自变量变。,,化时函数值的变化式说明了当为常数时将分成两部分而每一部分作,,,。为变元再算出正弦值之积易知当两部分值相同时算出的乘积最大在证明时我们取‘,、、,、、,。、,‘、,‘,一‘”’,“‘”’,。。,二、二。。、二,’变成小‘,,专实际上就是应用这一原理自变量音,、。,,,
