高等数学知识在初等数学中的应用

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1、高等数学知识在初等数学中的应用高等数学知识在初等数学中的应用　　高等数学知识在初等数学问题中的应用具有起点高、落点低、背景新、方法活和能力要求高的特点.但解决的知识是中学所学习的初等数学知识，它对学生的数学语言信息的阅读、收集、理解、转化、表述、探究和调控能力要求较高，是考查数学创新能力的有效手段，是模式化训练题海战术所达不到的.此类问题对培养学生独立发现问题、提出问题、分析问题和解决问题有很大的帮助.下面，笔者就对此类问题进行归类、例析，以期广大专家、同行对此类问题进行更深入的研究.　　一、知识背景的应用　　例1：已知函数

2、，当f（x）=tanx，x∈（0，），x，x∈（0，），且x≠x，证明[f（x）+f（x）]>f（）.　　分析：本题是以高等数学中的函数凹凸性为知识背景，以三角函数为知识载体，通过对正切函数和不等式的引入，使函数的本文由论文联盟.L.cOm收集整理凹凸性的性质得以充分体现.　　证明：因为x，x∈（0，），x≠x，所以2sin（x+x）>0，cosxcosx>0，　　且0<COS（X-X）<1，从而有0<COS（X+X）+COS（X-X）<1+

3、COS（X+X），　　由此得tanx+tanx>，即>tan（），　　所以[f（x）+f（x）]>（）.　　例2：设a>0，实数x，y，z满足x+y+z=a，x+y+z=.求证0≤x，y，z≤.　　分析：本题的知识背景是高等数学中的空间解析几何问题，x+y+z=a表示过三点（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示与坐标原点距离为的点（x，y，z）应满足的条件，即以O为圆心，为半径的球.如把已知方程中的z视为已知数，将其分别看成平面直角坐标系中的直线和圆，构造一

4、个直线和圆有公共点得图形，初等方法就可以解决了.　　证明：将已知两方程分别化简为x+y=a-z，x+y=-z.因为此两式同时成立，所以在平面直角坐标系中，直线x+y=a-z和圆x+y=-z有公共点（即相交或相切），于是圆心（0，0）到直线x+y=a-z的距离不超过半径即≤，将该式化简得3z-2az≤0，即z（3z-2a）≤0，解得0≤z≤.　　同理可证0≤x≤，0≤y≤，所以0≤x，y，z≤.　　二、语言叙述的应用　　例3：设绝对值小于1的全体实数的集合为S.

5、在S中定义一种运算*，使得a*b=.　　（1）证明：若a，b∈S，则a*b∈S；　　（2）证明：结合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.　　分析：本题是以高等数学语言习惯定义一种新运算，并将集合语言融入，来让学生证明结合率，使得问题变得新颖，有创意，能力要求较高.　　解：（1）要证明，若a，b∈S，则a*b∈S，即证明：当-1<A<1，-1<B<1时，有-1<<1成立，也就是证（）<1成立.此式易用作差比较法证明（证明略）.　　（2）两次用条

6、件中的公式a*b=分别得：　　（a*b）*c=*c==　　a*（b*c）=a*==　　所以有（a*b）*c=a*（b*c）.　　三、推理方法的应用　　例4：在平面几何里，有勾股定理：设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB+AC=BC.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则？摇？摇？摇？摇.　　分析：此题主要是考查对勾股定理的实质性类比，类比是高等数学中最为基本的推理方法，从类比推理的方法和规律来看

7、，应将由线段长度到三角形面积的升维类比，过渡到由指数的二次向指数的三次转变，可得结论是S+S+S=S，但恰恰相反，此结果是错误的.特别的，直三棱锥A-BCD的三条直棱AB、AC、AD的长度均为1，显然有S=S=S=，S=，而（）+（）+（）≠（），但（）+（）+（）=（），所以有S+S+S=S.对于得到S+S+S=S这个结果的学生来说，不是因为他们的类比推理能力差，而是其在推理过程中缺少检验和修正的环节.