矢量在初等数学中的应用

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1、矢量在初等数学中的应用权国治（西北师范大学数学与信息科学学院数学系98级乙班）摘要：利用矢量，对以把三维欧氏空间的几何结构有系统的代数化，从血使某些初等数学问题更简洁地得以解决。木文就初等数学屮常见的几类问题，给出了用矢暈法解决的新思路，新途径.关键词：矢量;内积;外积;混和积;异面直线;轨迹初等数学中遇到的许多问题，诸如共点、共线、共面问题；证明（求）异面直线（距离）；求轨迹方程；证明初等数学公式；证明不等式；计算角、面积、体积等。用初等方法证明或计算主要是通过运用自身的一些性质定理和判定定理而进行的，而

2、对于毎一内容的性质和判别法乂有若干，故解决时必然而临如何正确选择和灵活运用这些定理，这就使得这类问题的初等证明（或计算）往往具有难度大、技巧性强、不易掌握等特点；另外，对一些定理、公式的证明往往都要添加较多的辅助线，这样的技术因题而异，变幻莫测，证明常常显得烦琐复杂。而向量的引进将空间结构代数化，从而将这些初等数学问题转化成向量关系式的简单证明或计算。兼之矢量的自由性特点，我们利用矢量的线性运算、矢量的乘法（内积和外积）和矢量的混合积,使得对于这些初等问题的处理别开生面。木文就初等数学中上述问题，给出了用矢

3、量法解决的新思路，新途径。（一）证明不等量关系、不等式几何屮的不等量关系遇到较多的是长度、角度的不等量。引进向量后证明长度的不等量可以归结为证明冇关线段所对应的向量的模或其平方不等.■■92即若IAB1^1CDI或则ABhCD・证明角度关系的不等量时，只要用向量夹角公式cosZ(a,6)=厂罕IaAb分别求出两角的余弦后进行比较即可(余弦值大的夹角反小)・值得一•提的是，证明长度的不等与证明角度的不等可以相互转换，例如,在已知三角形4BC中，要证AB〉AC,可改证cosZ(^4,BC)>cosZ(G4

4、,CB);同样，要证乙4CB〉ZABC,则可证

5、xfi

6、>

7、AC

8、或忑2〉才乙〔例1设A,B,C,D是空间中的四点.求证：AC1+BD2+AD1BC1>AB2+CD2.证明：(如图1)设AB=a,AC=bfAD=cAC2+BD2+AD2+BC2-AB2-CD2=b2+(c-a)2+c2+(b-a)2-a2-(c-b)2-a1+b2+c2-2ac-lab-2bc=(a-b-c)2>0,AC2+BD1+AD1+BC1>AB2+CD2.例2在AABC中，AB>AC,BE,CF分别是AC,AB边上的中线，且图2BE

9、,CF交于点O,求证：ZOBC*1BE=BA+—AC,CF=CA+-AB,所以22同理，2—*1—21BO=-(BA+-AC)=-BA+-AC,323321CO=-CA+-AB,33于是2——23——2——2BO-CO=-(AB-AC)>0,9故ZOBCEH,还需作

10、AB的平行线EG及CG的中点M,并通过证明ZBME>ZHME后才能获得。显然，应用向量的证法较为简单且行之有效。在初等数学中不等式的证明一般用初等法，如比较法，构造函数法等。这些方法通常比较灵活，不易掌握。当引进矢量后，相当一部分不等式的证明将变得简单，易懂。卜•面就对柯西■施瓦兹（Cauchy・Schwartz）不等式用矢量法给予证明，希累它能起到抛砖引玉之功效。例3证明不等式（匕如（匕応^）。/=1/=11=1证明：设a=[a[,a2,--Jan},h=…，乞},因a=la丨•1力Icos/（«,&）则

11、显然有a^b

12、=ABxCDf则AB1CD.(2)证明空间直线与平面兀垂直，只需证明平面龙上任意两条和交直线段CD与CD满足以下关系式：ABCD=OABCD^OabxcB

13、=

14、ab

15、xcd

16、ABxCDr=abxCD1(AB^O,CD^O,而工O)・(3)证明两平面7T

17、,疗2垂直，可证这二平面的法向量®，©垂直.例4(2000年全国高考题第18题)如图3,已知直平行六面体ABCD—A1fi1C1DI的底面ABCD是菱