浅析构造法在初等数学中的应用

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1、浅析构造法在初等数学中的应用刘颖（唐山劳动高级技工学校）摘要：什么是构造法?怎样去构造呢？构造什么呢？构造法是运用数学的基木思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而釆取相应的解决办法。其基木的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学牛根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学牛创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学牛的解题

2、能力也有所帮助。关键词：构造创新求变木文主要如何通过运用构造法解题，激发学牛的创造思维训练，使学牛在解题过程，选择最佳的解题方法，开拓学生视野的同时，使学牛思维和解题能力得到培养。下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学牛发散思维，开拓学牛的视野，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。1对偶式构造法在一些简单化简计算题中，如果我们能对其结构进行对称性分析，将数学的对称美与题目的条件或结论相结合，就能构建一组相关联的对偶式，从而确定解题的总体思路或入手方向，其实质是让美的启示，美的追求在解题过程中成为客观指导力量，使题目的解决过程更加简洁明快。请看：例1简单求和：COS+COS+COS分

3、析：一般的解题思路，对于此题根木无从下手，为此我们考虑用构造法求解。解：设M二cos+cos+cos（构造对偶式）N二sin+sin+sin由上例我们可以看出，这种构造对偶式不仅使解题方法简洁明快，使解题思路更加清晰，使解题过程简洁巧妙，收到事半功倍之效，同时也揭示了数学美的本质，给人以美的享受，使人冋味无穷，令人美不胜收。2函数构造法顾名思义即构造岀一个和题目相关联的函数，然后通过利用函数的某些性质解题。函数在整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同吋也达到了训练学生的思维，增强学生的函数在我们思维的灵活性，开拓性和创造性。分析

4、：此题若运用绝对值不等式的性质去证明，学生一吋无从下手。这时，引导学生整体思维，即在思考问题吋，把注意力和着眼点放在问题的整体上，全面的收集和获取信息，对问题作出整体判断,从高层次上寻找捷径，化难为易，从而诱发灵感，获得问题的简捷解法。函数构造法要具体问题具体分析，有时候可以使二次函数，三角函数,指数函数，对数函数等，要因题而异。3方程构造法有些数学题目，经过观察可以构造出一个方程，从而通过方程使问题得到巧妙解答。例3、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列。证：根据已知条件，联想到一元二次方程的根的判别式，构造一元二次方程u2+(z-x)u+(x-y)

5、(y-z)=0,[u-(x-y)][u-(y-z)]=0,又因判别式为零,方程有相等实根，故x-y=y-z,即x,y,z成等差数列。3.1当q二1吋，不妨令al=l,则①为nx2+2(n+1)x+(n+2)=0,②即[nx+(n+2)](x+l)=0,可见方程②有二不同实根，即①有二异实根，则(*)成立；3.1当q&n时,方程①即为(1-qn)x2+2(1-qn+l)x+(l-qn+2)=0,即(x+1)2-qn(x+q)2=0,显然它也有二异实根,故(*)成立。综上，Sn·Sn+2

6、维。同样地，巧用构造法解题中的灵感的迸发也离不开直觉思维。灵感是直觉的升华，直觉是灵感的源泉。所以，要充分注意利用直觉来诱发灵感。4数列构造法即由题设联想构造岀一个数列，然后通过数列解题。例4已知：x,y,z∈R+,JzLx2+y2=z2,z√x2-r2=x2求证：xy=rzo5斜率构造法即利用斜率的定义式是问题巧妙化解。例5、求函数的值域分析：本例解法较多，介绍完常规解法，为使学生开阔视野，将学过的斜率公式得到巩固和活化，不妨让学生仔细观察已知函数的特征，展开丰富的类比联想，自然能发现它酷似斜率公式，这样就能将原函数构造为动点P(cosθ,sin&t

7、heta;)与定点A(-3,2)连线的斜率。设过定点A的直线方程y-2=u(x+3)即ux・y+3u+2=0,由圆心到直线的距离不大于半径得，解之得一般地，求函数(a,b&sin;R)的值域(最值)，可把原函数改写成：则y可看成是过定点A(-b,-a)与动点P[g(x),f(x)]连线的斜率，口点P在曲线上，再消去x,得F(u,v)=0,斜率kAP的变化范围就是原函数的值域(最值)。通过上述简单的几个例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效