构造法在角平分线中的应用

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1、www.czsx.com.cn构造法在角平分线中的应用角的平分线在几何当中有着重要的作用，因此，当题目中有角的平分线时，可以进行如下构造，从而使问题得到解答。一、过角平分线上一点作两边的垂线段构造全等三角形例1如图1，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此，我们联想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．AGCHDEF图1B证明：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G

2、，作EH⊥CD，垂足为H．∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG．同理EG=EH．∴EF=EH．∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．二、以角的平分线为对称轴构造对称图形例2如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连结DE，我们就能构

3、造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．证明：在AB上截取AE=AC，连结DE．-3-www.czsx.com.cnBACDE图2∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，AE=AC，∴△EAD≌△CAD．∴∠AED=∠C，CD=DE．∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B．∵∠AED=∠B+∠EBD，∴∠B=∠EDB．∴BE=ED．∴BE=CD．∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．三、延长角平分线的垂线段，使角平分线成

4、为垂直平分线例3如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．ABDCEF图3分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．证明：延长CE交AB于点F．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA和△CEA中，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．ABDEC图4四、利用

5、角的平分线构造等腰三角形如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．-3-www.czsx.com.cn例4如图5，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．求证：CD=BE．分析：要证CD=BE，可将BE分成两条线段，然后再证明CD与这两条线段都相等．ABCDFE12345图5证明：过点D作DF∥AB交BC于点F．∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．∵DF∥AB

6、，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．∴∠2=∠3，∴DF=BF．∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠4=∠C，CD=DF．∴CD=EF=BF，即CD=BE．-3-