角平分线模型的构造

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时间:2018-07-26

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1、第二讲角平分线模型的构造3月角平分线(l)定义:如图2-1,如果∠AOB=∠BOC,那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC,像OB这样,从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫作这个角的角平分线.(2)角平分线的性质定理①如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3)角平分线的判定定理①在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,②在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上,与角平分线有关

2、的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型,已知P是∠MON平分线上一点,(l)若PA⊥OM于点A,如图2-2(a),可以过P点作PB⊥ON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.(2)若点A是射线OM上任意一点,如图2-2(b),可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB∽△OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”.(3)若AP⊥OP于点P,如图2-2(c),可以延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.(4)

3、若过P点作PQ∥ON交OM于点Q,如图2-2(d),可以构造△POQ是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”.例1(1)如图2-3(a),在△ABC中,∠C=90。,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是()cm.(2)如图2-3(b),已知:∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC.8例2如图2-4(a),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F⑴求证:CE=CF.⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A,

4、D,E,的位置,使点E,落在BC边上,其它条件不变,如图2-4(b)所示.试猜想:BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.例3阅读下列学习材料:如图2-5(a)所示,OP平分∠MON,A为OM上一点,C为OP上一点,连接AC,在射线ON上截取OB=OA,连接BC(如图2-5(b)),易证△AOC≌△BOC.请根据上面的学习材料,解答下列各题:(l)如图2-5(c)所示,在△ABC中,AD是△BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.(2)如图2-5(d)所示,AD是△ABC

5、的内角平分线,其它条件不变,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由.8例4如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,垂足为点E,求证:BD=2CE.(1)如图2-7(a),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD上BD、AE⊥CE,垂足分别为D、E,连接DE.求证:DE∥BC,DE=(AB+BC+AC);(2)如图2-7(b),BD、CE分别是△ABC的内角平分线,其它条件不变;(3)如图2-7(c),BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,

6、其它条件不变,则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下,DE与BC还平行吗?它与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。8变式如图2-8,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分线交BC于点D,过点B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=DE例6如图2-9(a),AB=AC,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB.问:(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形?(2)过D点作EF∥BC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?(3)如图2-9(c),若将题中的△ABC

7、改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?(4)如图2-9(d),BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG.DE∥BC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系?并说明理由.(5)如图2-9(e),BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线,DE∥BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?例7如图2-10(a)所示,已知△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠CAB,求证:AB=ACD8变式1如图2-11所示,已知△ABC

8、中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC.求证:BC=AB+CD.变式2如图2-12,已知△ABC中,AB=AC,∠A=IOO°,BD平分∠ABC,求证:BC=BD+AD.例8如图2-13(a),OP是∠MON的

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