构造法在中学数学中应用

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1、构造法在中学数学中的应用论文摘要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。关键词：构造法；构造；几何变换现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学

2、生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨,通过示例，不断加深对构造法的理解。1构造法的应用用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换

3、、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造对象的不同将构造方法分成五类分别予以举例说明。1.1构造辅助数与式在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。例1当时，求的值.解：由条件得所以构造的因式y=====1例2正数满足，求证：分析：条件式中次数是3次，而

4、结论式中是1次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当时成立。于是考虑构造均值不等式。5解：由均值不等式得：（1）（2）由（1）+（2）变形整理得：1.2构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。例3证明：如果，那么证明：构造函数易证在R上是奇函数且单调递增+==lg1=0即：又是增函数即

5、例4求函数的最大值分析：由根号下的式子看出且故可联想到三角函数关系式并构造所以当即时，1.3构造方程方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一。如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法。构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：A.将所面临的问题转化为方程问题；B.解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；

6、C.将方程的相应结论再返回为原问题的结论。例5设且,,求的范围解：由得(1)将(1)的两边平方并将代入得(2)5由(1)(2)可知，是方程的两个不等的实根于是解得:即:对于较复杂的问题，就需根据条件进行框架的设计。为了运用判别式证明不等式，就需构思一个“一元二次方程”框架。例6已知，求证：分析：设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的面目出现，再由得到不等式.设，易证，再求得则就是方程的两个实根,由2.4构造数列在处理与自然数n有关的数学问题时，根据题目所提供的特征，通过替换、设想等构造出一个与欲解（证）问题有关的数列（数组），

7、并对该数列（数组）的特征进行分析，常可获得解题的途径。如果从分析问题所提出的信息知道其本质与数列有关，那么该问题就可以考虑运用构造数列的方法来解。例7已知数列{},,求.分析：我们希望化为即-2A+B=1解：由已知设则即{}是公比为2的等比数列且则对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决．例8求证：(其中nN+)．分析：构造数列模型=，则有5，所以数列为递增数列．又因，故(其中nN+)，即原不等式得证．评注欲证含有与自然数n有关的和的不等式f(n)>g(n)，可以构造数列模型，

8、只需证明数列是单调递增，且．另外，本题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁．2.5构造几何图形（体）如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造