结业论文构造法在中学数学中应用

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1、2010年重庆市高中数学骨干教师市级培训结业论文论文题目构造法在中学数学中的应用学员工作单位重庆市江津聚奎中学校学员姓名杨刚指导教师张广祥2010年9月第9页共9页构造法在中学数学中的应用杨刚重庆市江津聚奎中学校摘要：本文从构造方程、函数、图形、递推数列这些常见构造出发，构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。它是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关键词：构造、数学解题、转化

2、。1.前言构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋予几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，是运用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。它内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。从而使问题得以解决，运

3、用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于加强学生数学基础知识的灵活运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新能力。不少数学问题运用构造法来分析探求，可获得新颖、独特、简捷的解法。2.构造法在数学中的应用2.1构造函数法在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。例1：求证不等式：第9页共9页证明：构造函数：

4、.所以的图像关于轴对称。当时，，故；当时，依图象的对称性知.故当时，恒有.即.例2：已知，求证：证明：构造函数，则，设,由显然：因为，所以-＜0，＞1，所以，所以在上是单调递增的，所以以上两题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。2.2构造递推数列数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；有了数列的通项公式便可求出任一项以及前项和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，常常用构

5、造法(构造等差、等比数列)。例3：数列中，，求通项.第9页共9页解：令且，得，则数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，则.本题是形如为非零常数）的，若，则为等差数列，否则，构造等比数列。例4：已知数列满足，，求通项.解：数列是首项是3，公比为-2的等比数列.从而即本题形如为非零常数)，将其变形为若，则是等差数列，公差为，可用公式求通项；若，则采用构造等比数列.例5：已知数列满足：，若数列是等比数列，求实数的值；求通项.解：设第9页共9页得因为,所以即由已知可得，所以则存在常数使得数列为等比数列.所以，则.本题形如为非零常数）的形式，解决此问题，一般将其构造为等比数列.2.3构

6、造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。例6：已知实数满足，求的值。解：由已知可得：以为两实数根，构造方程，因为方程有实根，所以所以，所以方程有两个相等的实数根，所以，于是有，所以，所以.例7：求证：第9页共9页证明：设则：当时，显然成立.当时所以：2.4构造图形法数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创造性思维。要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认

7、识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握，敢于联想，善于联想是构造法的关键。例8：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）.A．3pB.4pC.3pD.6p图1解：构造一个棱长为1的正方体(如图1)，连，则四面体为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为,则,所以此正四面体外接球的表面积为,故选A.第9页共9页例9：求函数的最小值.解：可将函数变形为：可以理解为的距离之和，又因为是轴上的动点