构造法在中学数学解题中的应用

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1、构造法在中学数学解题中的应用［摘要］“构造法”作为一种重要化归手段，在数学解题屮有着重要的作用•本文从“构造函数”、“构造方程”、“构造图形”、“构造关系式辅助式”、等构造出发，通过对例题的剖析谈讨了构造法在中学数学解题中的运用.［关键词］数学解题；构造；构造法解题的思路；构造法解题的模式引言：所谓构造法是指某些数学问题用通常办法难以解决时根据题目条件和结论的特征，性质，从新的角度，用新的观点观察分析，解释对象抓住反映问题的条件与结论之间内在联系，用已知的数学关系为'支架’构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚的表现岀来，从而借助该数学对象解决

2、数学问题的方法.1.构造法的相关概念1.1构造法解题的思路构造法解题的基本思想方法是“转化”思想•用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的问题，而是把它转化成一个与原问题有关的辅助新问题，然后通过新问题的解决帮助解决原问题•苏联数学家c.A娅诺夫斯卡亚在题为〈〈解题意味着什么〉〉中精辟的指出：解数学题总味着将要解的问题转化为已知解决的问题•着就充分说明了“转化”思想在解数学题中的重要性.1.2构造法解题的模式构造法的内涵十分丰富.解题也没有一个绝对统一的模式，它需要更多的分析，类比，归纳，判断，同时能激发人们的知觉思维与发散思维•如何借助构造法实现解题过程的转化呢？关键是对题设条件进行

3、逻辑处理，通过一般的特殊化的想象，巧妙的对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物或想象物•构造法解题过程的人概模式为：函数关系式对题设条件通过创新思维图象通过推演构造方程结论特征的分析实现转化实现转化2.构造法在中学数学解题中的应用2・1构造方程法遇到等量性的问题都可以使用方程，对于一些计算问题也可以运用方程思想来解决，倘若一个量不能或难于直接求的就设法导出它满足的方程,对于问题就归结为求方程了.女口，例］.设⑦仇c为实数•若(a+c)(a+b+c)vO,证明：(b-c)?>4a(a+b+c);分析：所证不等式。(方-审-牝⑺+方+刀〉。，联想到一元二次方程的根的判別式B2-4AC,因此

4、可以构造二次函数/(x)=+(b-c)x+(a+b+c),只要证得方程/(兀)=0有两根或/(兀)与兀轴相交即可.当a=0时,由已知条件可得b主c.(否则，若b=c,贝Ijc@+c)v0o2,vO,不成立).当aH0时，设/(x)=ax2+(b-c)兀+(a+b+c),因为f(0)二a+b+cj(-l)=2(a+c),由已知I(a+c)(a+b+c)vO,所以/(0)-/(-l)<0,所以二次函数/(x)的图象与兀轴相交，故△=(Z?—c)2一4q(g+/?+c)>0,艮卩(Ac)?>4a(a+b+c)・说明，有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理将会非常简捷，这种

5、例子很多.例2・求y=x[5x+l的值域.x-x+1分析:求函数的值域的方法很多，判别式法是常用的一种，它的理论依据是将y二f(x)化为关于x的二次方程，那么方程有实数解时,判别式由此可求得函数的值.解:将y二X「5x+l变形为关于X的方程(l-y)x2+(y-5)x+(l-y)=0x~-x+l当yzl时，(y-5)2-4(l-y)2--3y2-2y+21>0,所以，-3分吕，当y二1口寸，x二0,此吋ye[-3,

6、]・于是y二x'5x+l的值域便是[_3厶.x'-x+l3例3・设x,y为实数，且满足关系式：r(x—1)^1997(x-1)二-1I(y-l)'+1997(y-1)二1贝0x+

7、y二.[分析]:此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉•若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y尸+1997(1-y)二1,利用函数f(t)=t3+1997t的单调性，易得x-l=l-y,自然、简洁.2.2构造函数法函数是中学数学知识的一个中心，方程可以看作是函数值为零的情况,不等式看以看作两个函数之间的不等关系•因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式，函数图象可以看作为研究函数性质的工具，进而解决一类相关问题•构造函数法是运用函数概念和性质构造辅助函数解题•构造函数的前提是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数的性质构造过程要求

8、我们正确的合理的选择恰当的函数，并准确的运用函数性质，以便快捷无误的解决原问题.例4.解方程(6x+5)(1+J(6x+5)2+4)+Hl+2+4)=0・分析:注意到(6x+5)(1+J(6x+5F+4)与x(l++4))具有相同的结构,令则原方程为f(6x+5)=-f(x).只要证明f(x)是奇函数且是单调函数，就能简单的解出此题.解：构造函数f(x)二x(1+J兀$+4)),原方程化为f(6x+5)+f(