浅议构造法及在初等数学中应用

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1、浅议构造法及在初等数学中应用所谓构造法，即构造性解题方法，根据对题设条件或结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程等，借助于该数学模型认识与解决数学问题的一种思想方法。构造法”包含下述两层意思：（1）利用抽象问题的普遍性，把实际问题转化为数学模型；（2）利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架。构造法打破了基本的'‘要什么，求什么，给什么，用什么”的常规解题思路和解题模式，应用它解题，则另辟蹊径,它是一种重要

2、而灵活的思维方式，没有固定的模式，常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规,具有很强的创造性。它的应用十分广泛，特别是对有些技巧性强的题目，这时利用构造法往往能达到意想不到的效果，它是一种探索和创新，适当的构造可以给人带来耳目一新的解题感受，能提高学生的解题能力，还可以让学生体会到数学灵巧之美。1•构造方程法构造方程就是构造一些特殊的方程，将一些“相等关系”转化为“不等关系”，“不等关系”转化为“相等关系”o【例】设al,a2,…，an为任意正数，证明对任意正整数n不等式(al

3、+a2+・・・+an)2Wn(al2+a22+•••+an2)均成立证明：原不等式即4(al+a2+•••+an)2~4n(al2+a22+***+an2)WO由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：(al2+a22+・・・+an2)x2+2(al+a2+•••+an)x+n二0(*)因方程左边二(alx+1)2+(a2x+l)2+・・・+(anx+1)2三0当al,a2,…，an不全相等时，alx+1,a2x+l,…，anx+1至少有一个不为0,方程(*)左边恒为正数，方程(*)显然无解。当a

4、l二a2二…二an时，方程(*)有唯一解故△二4(al+a2+•••+an)2~4n(al2+a22+--*+an2)WO即(al+a2+・・・+an)2Wn(al2+a22+•••+an2)对任意正整数n均成立。通过以上例题考察题设条件中的数量关系和结构特征，巧妙设计新的方程，创立新的问题情境，灵活快速地解决问题，解出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的欢快心情。2•构造函数法函数在我们整个中学数学中占有相当的内容，学生对于函数性质也比较熟悉。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使

5、注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。【例】设a,b,c为三角形三边长，求证：证明：构造函数显然f(x)在(0,+°°)上是增函数Ta,b,c是三角形三边长，.：c/.f(c)bn,an>cnan3>anbncn即：此题看似非常繁琐，但通过构造已知式的对偶式，问题就巧妙地解决了。所以说构造对偶式对解决这类问题就显得十分简便了。4构造几何图形法华罗庚说过：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解在解题

6、时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷.【例】实数x,y满足4x2+4y2-5xy=5,求S=x2+y2的极值。分析：首先观察约束条件和目标函数，发现它们都是二次曲线。令x=xz+y‘，y=xz-yz,将约束条件化为目标函数化为因此其几何模型为：动圆与定椭圆相切时，动圆半径平方的2倍，即为目标函数的最小值，也即为定椭圆的长半轴、短半轴平方的两倍。如图所示。然后，由建立的几何模型，易求得：此题首先观察命题的约束条件和目标函数

7、的形状与结构形似联想，构造几何模型，即由数及形；然后根据几何模型的特征，求解极值，即由形促数。这种构造的重要之点在于，善于发掘题设条件中的几何意义，从而构造出几何图形,把代数问题转化为几何问题来解决.巧用构造法来证明，是通过建立和构造模型创造性的解题，是不同于常规解法的创造性思维。由于构造法具有非常规性，构造内容也变化不定，灵活性强，有时需要构造一个式子，有时需时构造图形，有时需要构造方程，有时需要构造函数，复数或向量，这给学生的创新思维提供了很大的培养和训练空间，需要学生不断去探索和总结，当然

8、，创造性思维的培养并不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容，而是应该长期坚持，立足课堂主战场，注重教材中潜在内涵的挖掘，引导学生的科学研究的方式去探索，标新立异。因此，我们应以关注学生的创新思维发展出发，着眼于学生创新意识的培养，鼓励学生主动参与，自主探讨，让他们在观察、分析、思考、探索和运用中学习、领悟、积累和发展。