浅析构造法在初等数学中应用

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1、浅析构造法在初等数学中的应用-中学数学论文浅析构造法在初等数学中的应用芮媛媛，王天予（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏泰州225300）摘要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。关

2、键词：构造法；构造；几何变换中图分类号：G642.41文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）44-0204-03一、引言9/9解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。构造法是运用数学的基本思想经过认真地观察，深入地思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决

3、。构造法作为数学的一种重要的方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件。构造法的内涵十分丰富没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性和现实问题的特殊行为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。古希腊数学家欧几里得不仅是欧氏几何的奠基人，而且也是数学上构造法的创始人。在《几何原本》中，他第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。历史上古今中外不少数学家，都曾经用构造法成功地解决过数学上的难题，如瑞士数学家欧拉通过映射构造数学模型，成功地解决了著名的哥尼斯保七桥问题；又如我国古代数学家通过割补构造给出了勾股定理的证明。怎

4、样构造呢？当某些数学问题使用通常办法按定式思维去解很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，通常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法、手段，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造法解题的思路。构造法是帮助发现数学理论和解决数学问题的方法。它在数学解题中的作用主要表现在两个方面：一是许多问题本身有构造性的要求，或者可以通过构造而直接得解；二是有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（我们亦称之为辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题的解决，这种巧妙构思正是构造法的技巧与魅力所在。二、构造法的应用运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎

5、么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴含不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。9/9用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

6、下面按构造对象的不同将构造方法分别予以举例说明。1.辅助数与式的构造。在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。例1正数a，b满足a3+b3=2，求证：a+b≤2。分析：条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当a=b=1时成立。于是考虑构造均值不等式。由均值不等式a3+b3+c3≥3abc得：a3+13+13≥3a（1）b3+13+13≥3b（2）由（1）+（2）变形整理得：a+b≤22.函数的构造。在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系

7、，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。9/93.方程的构造。方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。在数学解题中，根据题目的已知条件和结论、性质与特征，构造出某种数学模型（如方程模型），通过对模型的解释与研究，实现问题的解决，这是解数学题中常用的思想与方法.即有目的地构造方程，以沟通问题中条件与结论的联系，使问题中的隐含关系明朗化，