浅析构造法在解题中的应用.doc

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1、浅析构造法在解题中的应用袁炳金（四川省射洪中学，629200）数学的人文价值不仅为数学是现代文明的一部分，而且体现为数学对现代文明的深远影响。所以，置身于平凡抽象的数学问题中，追求思维简易化，挖掘蕴涵其中的数学思想，整理归纳其中的数学方法，学会“点石成金”之术，建立完整的知识网络体系，发展真正的数学创新能力，这是数学学习的宗旨。构造法，它是根据问题中的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学“元件”，构造出新的对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。它往往表现出简洁、明了、精巧，新颖等特点。但如何应用构造法解题，这是一项创

2、造性工作，现结合一些具体的题目，略陈管见。一、构造对偶式解决问题前，充分观察所给式子的结构特征，构造出与已知式子结构相同或对称，奇偶、正余函数对换的式子，然后把它与原式经过或加减或乘除进行研究，有时会得到意想不到的效果。例1.（1）求的值；（2）求证（1）解：令A=构造对偶式B=则：————————————————①————————————————②由（①+②）÷2得A=（2）证明：令构造对偶式显然：A

3、律与性质为我们解决多组数据或多维问题提供了很好的思维方向。例2.（1）已知，，求的值。（2）已知，，求的值。（3）求使函数取得最大值时的的值。（1）解：构造向量得，如图1xoy图1xoy图2（2）解：构造向量由题，而，如图2，三等分单位圆，又,所以（3）解：构造向量显然，而，所以当且仅当与同向时取最大值，此时。三、构造方程方程是我们再熟悉不过的了，但我们的学习不止与此，其它非方程问题是否也能够运用方程的思想来研究呢？例3.（1）求的值；（2）在中，求证：（1）解：构造方程则：当然，学习了等比数列我们这是一个无穷递缩等比数列的所有项之和问题，（2）证明：

4、构造方程:令由四、构造数列数列作为特殊的函数，它与函数既联系又区别。对于正整数问题我们可以考虑用数列思想来研究。例4.（1）已知不等式对于且恒成立，求的范围；（2）设，求证：（1）解：构造数列{}:令则：所以单调递增只需（2）证明：构造数列{}:令而五、构造函数在高中阶段函数的地位是相当重要的，函数的图像和性质（尤其是函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性）为我们解决很多问题都带来了极大的方便。所以在解题时，我们可以构造函数的性质解题或利用函数图像数形结合解题。例5.（1）解方程：；（2）已知，证明：。（1）解：构造函数，显然为单调递增函数由题（2）证明

5、：构造函数则为一次函数或常值函数，且。因为且即：得证。当然，根据题目的条件我们还可以构造曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）来解题。六、构造几何图形在解决代数问题时还可以构造一些几何图形，让所给的量与关系在图形中反应出来，我们通过数形结合使问题变得简洁、明了，从而解决问题达到事半功倍的效果。例6.（1）在中，，则；（2）若，且，证明：。xyDACBEFz图4CAA’B图3（1）分析：因为任何一个三角形都有外接圆，由，，所以构造图3所示的外接圆。当点A在所对的优弧上时，∠A的大小都不变。很显然，当A移动到弦的中垂线与的优弧的交点A’时，三角形的面积最大。

6、此时三角形为等边三角形，。（2）分析：由条件构造边长为k的正（如图4）。在三边上依次取分点D、E、F使。很显然。然后运用正弦定理的面积公式即可得出结论：。七、构造二项式或多项式例7.（1）化简;(2)有限集的全部元素之积称为的“积数”，给定，则的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为。解：（1）构造，因为表示展开式中项的系数，而，展开式中项的系数为。所以，。（2）构造，由题即求。显然，再分别令和即可得。总之，在解决有关数学问题时，我们要善于从多角度认识题目中的条件和结论的特征，挖掘出它们之间的内在联系，熟练、灵活的我们所学的数学知识必将能得到意想不到、

7、事半功倍的效果。