（浙江专用）2020届高考数学一轮复习第三章导数3.2导数的应用课件.pptx

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1、§3.2　导数的应用高考数学(浙江专用)A组　自主命题·浙江卷题组五年高考1.(2019浙江,22,15分)已知实数a≠0,设函数f(x)=alnx+,x>0.(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;(2)对任意x∈均有f(x)≤,求a的取值范围.注:e=2.71828…为自然对数的底数.解析本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.满分15分.(1)当a=-时,f(x)=-lnx+,x>0.f'(x)=-+=,所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+

2、∞).(2)由f(1)≤,得00,故q(x)在上单调递增,所以q(x)

3、≤q.由(i)得,q=-p<-p(1)=0.所以,q(x)<0.因此,g(t)≥g=->0.由(i)(ii)知对任意x∈,t∈[2,+∞),g(t)≥0,即对任意x∈,均有f(x)≤.综上所述,所求a的取值范围是.疑难突破(1)导函数f'(x)通分后,对分子的因式分解比较困难,可以选择先求分子等于0时的根,从而确定根两侧导函数的正负.(2)先对本题复杂不等式化简变形是解题的切入点,由于a的范围太大,借助恒成立的条件用特殊值缩小a的范围是解题的关键,另外,对双变量不等式,合理确定主元,是解决本题的思维转折点.2.(2018浙江,22,15分)已知函数f(x)=-lnx

4、.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.证明本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.(1)函数f(x)的导函数f'(x)=-,由f'(x1)=f'(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2,因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-lnx1+-lnx2=-ln(x1x2).设g(x)=-lnx,则g'(x)=(-4

5、),所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(2)令m=e-(

6、a

7、+k),n=+1,则f(m)-km-a>

8、a

9、+k-k-a≥0,f(n)-kn-a

10、g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多有1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.一题多解(1)f'(x)=-,且f'(x1)=f'(x2)(x1≠x2).设f'(x1)=t,则-=t的两根为x1,x2.即2t()2-+2=0有两个不同的正根x1,x2.∴即∴f(x1)+f(x2)=+-ln(x1x2)=+2lnt.设g(t)=+2lnt,则g'(t)=

11、-+=<0,∴g(t)在上为减函数,∴g(t)>g=8-8ln2,∴f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(2)设h(x)=f(x)-kx-a=-lnx-kx-a,只需证明:当a≤3-4ln2时,对于任意的k>0,函数h(x)在(0,+∞)上只有唯一的零点.取m=e-

12、a

13、-k,则h(m)=+

14、a

15、+k-ke-

16、a

17、-k-a≥+k(1-e-

18、a

19、-k)>k(1-e-

20、a

21、-k)>0.又x>0时,-kx<-k·=.即h(x)<-a-lnx,取n=,则h(n)<-a-lnn=0,而-

22、a

23、-k≤-a-k<-a+,∴n>m>0.∵h(m)>0,h(n)<0,∴h(x)