浙江专用2020版高考数学复习导数的综合应用课件.pptx

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1、3.4　导数的综合应用考点突破考点一利用最值(极值)判断零点个数考点二导数与不等式考点三利用导数解决实际问题导数与零点命题方向一　利用最值(极值)判断零点个数典例1已知函数f(x)=lnx+,其中a为实常数.(1)判断函数f(x)的零点个数;(2)若f(x)≥(e是自然对数的底数)在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.考点突破解析(1)f'(x)=,x>0.①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.若

2、a

3、≤e,则f(e)=lne+≥0;若

4、a

5、>e,则f(

6、a

7、)=ln

8、a

9、+=ln

10、a

11、-1>lne-1=0.取m=

12、max{e,

13、a

14、},则有f(m)≥0,f(1)=a<0,或f(m)>0,f(1)=a≤0,所以由函数零点存在性定理结合函数单调性知,函数f(x)有唯一零点.②当a>0时,f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=lna+1.若lna+1=0,即a=,则函数f(x)有唯一零点;若lna+1>0,即a>,则函数f(x)无零点;若lna+1<0,即00,且f(a3)=3lna+>0,补证:设g(t)=3lnt+,则g'(t)=-=.当t∈时,g'(t)<0

15、,所以g(t)在区间上单调递减,故g(t)>g=e2-3>0.证毕所以函数f(x)有两个零点.综上所述,当a>时,f(x)无零点;当0

16、e-1+,故实数a的取值范围是[e-1+,+∞).典例2设函数f(x)=x2-mlnx,g(x)=x2-(m+1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m≥1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.命题方向二　构造函数法研究零点问题解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=,当m≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,f'(x)=,所以当0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.综上,当m≤0时,f(x)在(

17、0,+∞)上单调递增;当m>0时,函数f(x)的单调增区间是(,+∞),单调减区间是(0,).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-x2+(m+1)x-mlnx,x>0,问题等价于求函数F(x)的零点个数问题,F'(x)=-,当m=1时,F'(x)≤0,函数F(x)为减函数,因为F(1)=>0,f(4)=-ln4<0,所以F(x)有唯一零点;当m>1时,0m时F'(x)<0;10,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+∞)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+>0,f(2m+2

18、)=-mln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.规律方法利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围.(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及

19、极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.1-1(2018重庆调研)设函数f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在上有两个零点,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f'(x)=-2x-1+=,令f'(x)=0,得x=(负值舍去),当00,当x

20、>时,f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得a=x-,令g(x)=x-,其中x∈,则g'(x)=1-=,令g'(x)=0,得x=1,当≤x<1时,g'(x)<0,当1