（山东专用）2020届高考数学一轮复习第三章导数3.2导数的应用课件.pptx

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1、高考数学(山东专用)§3.2导数的应用(2016山东,20,13分)已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.考点一　导数与函数的单调性A组　山东省卷、课标Ⅰ卷题组五年高考解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a--+=.当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,f'(x)=.①01,当x∈(0

2、,1)或x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.②a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.③a>2时,0<<1,当x∈或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当02时,f(x

3、)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(2)证明:由(1)知,a=1时,f(x)-f'(x)=x-lnx+-=x-lnx++--1,x∈[1,2].设g(x)=x-lnx,h(x)=+--1,x∈[1,2].则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1.当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)=.设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]内单调递减.因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ

4、(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=,即f(x)>f‘(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.思路分析(1)求f(x)的导函数,对a进行分类讨论,求f(x)的单调性;(2)要证f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立,即证f(x)-f'(x)>,根据单调性求解.评析本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的

5、单调性与极值.本题覆盖面广,对学生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出.本题考查逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.1.(2015山东,21,14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.考点二　导数与函数的极值、最值解析(1)由题意知函数f(x)的定义域为(-1,+∞

6、),f'(x)=+a(2x-1)=.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞).①当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点.②当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).a.当0时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1,x2(x1-.由g(-1)=1>0,可得-1

7、<-.所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数有两个极值点.③当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1.当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,

8、函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤时,函数f(x)无极值点;当a>时,函数f(x)有两个极值点.(2)由(1)知,①当0≤a≤时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(0)=0,所以x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.②当0,符合题意.③