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《微分方程PPT(罗兆富等编)第四章 高阶线性常微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、第四章高阶线性常微分方程第一节n阶线性常微分方程的一般理论第二节n阶常系数齐次线性方程的解法第三节n阶常系数非齐次线性方程的解法第四节可化成常系数的微分方程(4.1.01)第一节n阶线性常微分方程的一般理论一、n阶线性常微分方程的概念只含一个未知函数y=y(x)的n阶线性常微分方程其中系数函数在本章,我们只讨论高阶线性常微分方程的求解问题.对于高阶非线性常微分方程的求解问题,我们留在第八章的非线性偏微分方程的Adomian分解法中讨论.和自由项f(x)都是区间I上的连续函数.方程(4.1.01)的初始条件记为(
2、4.1.02)n阶线性常微分方程与第三章讨论过的一阶线性常微分方程组有着密切的关系.因为若在方程(4.1.01)中引进新函数(4.1.03)则(4.1.01)就等价于下面的一阶常微分方程组(4.1.01)(4.1.04)(4.1.04)'(4.1.02)'(4.1.01)的解(4.1.04)的解(4.1.04)的解(4.1.01)与(4.1.04)等价!这样一来,第三章的有关结论都可以移植到方程组(4.1.04)上来,再由这里A(x)和F(x)的特殊形式,只要取第一个分量就可得到方程(4.1.01)的相应结果.
3、特别地,n阶线性常微分方程(4.1.01)满足初始条件(4.1.02)的解在整个区间I上存在且唯一.若在(4.1.01)中,自由项在区间I上恒等于零,则(4.1.01)变成(4.1.05)方程(4.1.05)称为n阶齐次线性常微分方程,与此相应,(4.1.01)称为n阶非齐次线性常微分方程.有时,为了叙述上的方便,还称(4.1.05)为(4.1.01)对应的齐次线性方程.二、n阶齐次线性常微分方程的一般理论显然,n阶齐次线性常微分方程(4.1.05)等价于一阶齐次线性常微分方程组(4.1.06)所以一阶齐次线性
4、常微分方程组解的理论都可移植到高阶齐次线性常微分方程上来.为此,我们先给出函数组线性相关的概念.定义1.对于定义在区间I上的函数组如果存在一组不全为零的常数a1,a2,…,an,使得(4.1.07)在区间I上恒成立,则称区间I上线性相关.否则称之为线性无关.定义1.对于定义在区间I上的函数组如果存在一组不全为零的常数a1,a2,…,an,使得(4.1.07)在区间I上恒成立,则称区间I上线性相关.否则称之为线性无关.即仅当a1=a2=…=an=0时,(4.1.07)才在区间I上成立.由此定义,两个函数在区间I上
5、线性相关(无关)的充要条件是：它们之比是常数(非常数,即函数).假设(纯量)函数组是齐次线性常微分方程(4.1.05)的n个解,则由(4.1.05)与(4.1.06)的等价性,得到方程组(4.1.06)的n个相应的解为(4.1.08)其朗斯基(Wronski)行列式为(4.1.08)(4.1.08)是齐次线性常微分方程(4.1.05)的n个解,则由(4.1.05)与(4.1.06)的等价性,得到方程组(4.1.06)的n个相应的解为(4.1.09)其朗斯基(Wronski)行列式为(4.1.10)注意,在行列式
6、(4.1.10)中,从第二行开始的各行都是由第一行元素逐阶求导而得.因此,它事实上是由第一行元素决定的.我们把(4.1.10)称为函数组(4.1.08)的朗斯基行列式.定理4.1(叠加原理)如果(4.1.05)是齐次线性方程(4.1.05)的任意m个解,则它们的线性组合也是(4.1.05)的解,其中C1,C2,…,Cn是任意常数.换句话说,线性齐次方程(4.1.05)的任何有限个解的线性组合仍为(4.1.05)的解.定理4.2n阶齐次线性方程(4.1.05)的解组(4.1.08)在区间I上是线性无关(相关)的充
7、要条件是：它的向量函数组(4.1.09)区间I上是线性无关(相关)的.■■定理4.3齐次线性方程(4.1.05)的n个解(4.1.05)在其定义区间I上线性相关(无关)的充要条件是:它们的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零(恒不等于零).■定理4.4齐次线性方程(4.1.05)恰有n个线性无关的解■定义2.齐次线性方程(4.1.05)的定义在区间I上的n个线性无关解称为它的基本解组.定理4.5(通解的结构定理)如果是齐次线性方程(4.1.05)的一个基本解组,则(4.1.11)是齐次线性方程(4.1.05)的通
8、解.■基本定理!方程(4.1.05)的基本定理又可叙述为:齐次线性常微分方程(4.1.05)的通解等于它的基本解组的线性组合.基本定理表明,齐次线性常微分方程(4.1.05)的所有解的集合是一个n维线性空间.例1.易于验证函数y1=cosx,y2=sinx是方程的解.并且由它们构成的朗斯基行列式在(－∞,＋∞)上恒成立.因此,这两个函数是已知方程的两个线性无关解,即是一基本解组,故该方
