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1、11机动目录上页下页返回结束第五章偏微分方程的概念第一节基本概念和定义第二节二阶两个自变量的半线性方程的分类在偏微分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程.这些著作当时没有引起多大注意.1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式.这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科.和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·伯努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一
2、般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响,拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容.偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献.这里应该提一提法国数学家傅里叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者.在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在书中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程.他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的.近年来,偏微分方程在生物学、化学、计算机科学乃至经济学等领域的应用都有戏剧性增长的趋势.因此,偏微分方程的求解,特别是求出其精确
3、解的课题就有了极端的重要性.为此目的,求偏微分方程精确解的各种方法便应运而生了,传统的有分离变量法、达朗贝尔公式法、特征曲线法、傅里叶变换法和拉普拉斯变换法,现代的有Adomian分解法、变分迭代法、F-展开法、(G,G)-展开法动力系统法等.在本课程中我们仅介绍现代的Adomian分解法和变分迭代法,以及传统的特征线法、达朗贝尔公式法、分离变量法和傅里叶变换法.一、偏微分方程的基本概念将含有未知函数及其偏导数的等式,称为偏微分方程.因此,偏微分方程的一般形式是(5.1.01)我们在研究偏微分方程(5.1.01)时,一般都将自变量限制在一个适当的区
4、域在区域Ω内寻求满足(5.1.01)的函数解或古典解特解或精确解条件第一节基本概念和定义例如,(5.1.02)都是偏微分方程.容易验证,当任意函数二阶连续可微时,是(5.1.02)中最后一个方程的解.由此例可见,偏微分方程解的任意性比常微分方程解的任意性宽泛得多,因为常微分方程解的任意性体现为解中的任意常数,而偏微分方程的解中的函数都是任意的.偏微分方程的阶就是出现在方程中的最高阶导数的阶.例如,方程是一个二阶偏微分方程,而方程是一个三阶偏微分方程.若偏微分方程中的未知函数及其偏导数都是一次的,且其系数都是自变量的已知函数或常数,则称其为线性偏微分
5、方程.偏微分方程的阶就是出现在方程中的最高阶导数的阶.例如,方程是一个二阶偏微分方程,而方程是一个三阶偏微分方程.若偏微分方程中的未知函数的最高阶偏导数是线性的,则称其为半线性偏微分方程.若偏微分方程中的未知函数的最高阶偏导数是一次的,则称其为拟线性偏微分方程.不是线性的偏微分方程称为非线性偏微分方程.如果一个偏微分方程具有不含有未知函数及其偏导数的项,则称其为非齐次偏微分方程,否则称其为齐次偏微分方程.自由项！偏微分方程线性偏微分方程非线性偏微分方程拟(半)线性偏微分方程完全非线性偏微分方程半线性偏微分方程例1.热传导方程(5.1.03)这三个方
6、程分别描述了一维空间、二维空间、三维空间中的热传导规律,其中a>0是常数.例2.波动方程(5.1.04)例3.拉普拉斯(Laplace)方程(5.1.05)拉普拉斯方程可视为热传导方程在时间上达到平衡时的退化情形,非齐次的情形又称为泊松方程.求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质.例1～3中的方程是三类经典偏微分方程.例4.下面两个方程是著名的线性偏微分方程.(1)电报方程(5.1.06)其中a,b,c是常数
7、.(2)布莱克-斯科尔斯(Black-Scholes)方程(5.1.07)其中S是标的证券价格,f是衍生证券的价格,r是无风险利率,是一个常数.例5.下面是著名的非线性偏微分方程.(1)伯格斯方程(5.1.08)其中ν是常数.(2)KDV方程(5.1.09)(3)sine-Gordon方程(5.1.10)(3)刘维尔(Liouville)方程(5.1.11)(4)人口发展过程的连续模型(5.1.12)(5)交通流方程(5.1.13)二、数学问题1.定解问题一个偏微分方程的通解鲜有用途,而真正有用的是特解或精确解,特解就是满足事先给出的附加条件的解,
8、这样的附加条件称为定解条件,一个偏微分方程的配上定解条件就构成一个定解问题.例如,定解问题(5.1.14)由一个偏微分方程
