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《微分方程PPT(罗兆富等编)第六课时 线性方程的Adomian分解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章线性方程Adomian分解法的第一节Adomian分解法概述第二节波动方程第三节热传导方程第四节拉普拉斯方程将方程中的未知函数u(x,y)分裂成一个无穷级数第一节Adomian分解法概述一、标准Adomian分解法(6.1.01)而得到其解,其中级数的通项un(x,y)由递推方式确定.Adomian分解法的要点是：具体而言之,我们考虑算子形式的线性微分方程(6.1.02)具体而言之,我们考虑算子形式的线性微分方程(6.1.02)其中L一般是一个(关于某个自变量)的最高阶微分算子并且是可逆的,R是其它线性微分算子,g是自由项.我们将逆算子L-1作用于(6.
2、1.02)的两端并利用已给初边值条件,得到.(6.1.03)其中函数f由积分自由项g和已给初、边值条件而得到.将(6.1.01)代入(6.1.03)中得到(6.1.04)(6.1.05)Adomian分解法指出,通项un(x,y)的递推公式是(6.1.06)也就是............................(6.1.01)(6.1.02)解(6.1.04)将(6.1.01)代入(6.1.03)中得到例1.求解偏微分方程解:将方程写成算子形式其中且Lx是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到再将未知函数的级数展式代入,得到再将未知函
3、数的级数展式代入,得到从而得到递推公式..................................所以方程的精确解为■计算得到例2.求解偏微分方程解:将方程写成算子形式其中且Ly是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到再将未知函数的级数展式代入,得到从而得到递推公式..................................计算得到再将未知函数的级数展式代入,得到..........................■所以方程的精确解为Adomian分解法是求解微分方程的一个强有力的方法,特别对于非齐次线性方程,Adomian分
4、解法可通过消除噪声项来使其级数收敛迅速加速.二、Adomian分解法的消除噪声项消除噪声项思想的要点是：(1)将噪声项定义为级数中第一项u0与u1中的符号相反的恒同项.(2)划去u0中的噪声项后,剩下的部分若是方程的解,则它就是其精确解;若不是解,则方程的精确解仍是级数形式的解.(3)因为齐次线性方程没有噪声项,所以噪声项只可能出现在非齐次线性方程中.如果没有出现噪声项,则方程的精确解仍是级数形式的解.例3.求解非齐次偏微分方程解:将方程写成算子形式其中且Lx是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到再将未知函数的级数展式代入,得到从而得到递推
5、公式..................................计算得到计算得到观察u0(x,y)与u1(x,y)的表达式可见,它们有符号相反的相同的项故是噪声项,在u0(x,y)中划去这些噪声项,剩下的部分是u(x,y)=1.显然,这不是方程的解.但若在u0(x,y)中划去-y+ycoshx,剩下的部分是代入方程验证后知,它是方程的解,故方程的精确解为■三、修正的Adomian分解法(6.1.03)(6.1.04)在Adomian分解法中,有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中的项f分裂成两项,即(6.1.07)利用(6.1.07),我们可将u
6、n的递推公式作稍许改变而使得计算更容易,就是令u0=f1,而将f2配给u1,其它项不作改变.这样,un的递推公式就成为............................例4.求解偏微分方程解:将方程写成算子形式其中且Lx是可逆的,将其逆算子作用于方程的两端,并注意到初始条件得到再将未知函数的级数展式代入,得到再将未知函数的级数展式代入,得到从而得到递推公式..................................所以方程的精确解为■计算得到例5.求解线性古尔沙问题(linearGoursatproblem)解:将方程写成算子形式其中且Lx,Ly
7、是可逆的,其逆算子分别为和为了得到递推公式,我们须解出算子方程左端的u(x,y),于是我们将逆算子次作用于算子方程的的两端,即依现在计算上式的左端,并注意到初始条件,得现在计算上式的左端,并注意到初始条件,得代入算子方程,整理,得再将未知函数的级数展式代入,得到得到递推公式得到递推公式..................................计算得到..................................所以方程的级数形式的解为■本节结束！第二节波动方程波动方程是一种重要的偏微分方程,是双曲型方程的典型代表,主要描述自然界中的各种波动现象
8、,例如声波,光波和水波.波动现象抽象自
