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《微分方程PPT(罗兆富等编)第七章-特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章特征线法、达朗贝尔公式第一节特征线法第二节达朗贝尔公式反射法和分离变量法第三节分离变量法简介的一阶齐次线性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n)是自变量x1,x2,…,xn的n(n≥2)元连续函数,且不全为零.第一节特征线法一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解1.一阶齐次线性偏微分方程考虑形如(7.1.01)方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而得到,通常称这种求解方法为特征线法.第一节特征线法一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解1.一阶齐次线性偏微分方程考虑形如(7.1.01)设u=u(x1,x2,…,xn)
2、是方程(7.1.01)的一个解,则由全微分法则,有(7.1.02)(7.1.03)(7.1.04)(7.1.03)我们称(7.1.03)为(7.1.01)的特征方程组,由特征方程组(7.1.03)确定的空间曲线称为特征曲线.由于特征方程组(7.1.03)是一个包含n-1个方程的常微分方程组,所以它有n-1个首次积分我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分(7.1.04)来求一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解.偏微分方程(7.1.01)的解与它的特征方程(7.1.03)的首次积分之间的关系有如下的定理.(7.1.04)假设已经
3、得到特征方程组(7.1.03)的n-1个首次积分(7.1.04),定理7.1则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解为(7.1.01)(7.1.05)其中是任意连续可微n-1元函数.证明:设(7.1.06)是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.因为函数a1,a2,…,an不同时为零,所以不妨设这样特征方程组(7.1.03)等价于下面标准形式的常微分方程组(7.1.07)因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一个首次积分.再由第三章第一节定理3.1知,有恒等式两端乘以an,得(7.1.08)这就证明了函数是特征方程组(7.1
4、.03)的一个首次积分的充要条件为恒等式(7.1.08)成立.(7.1.08)(7.1.01)比较是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的充要条件是:是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的解.因此,若是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的任意一个解,则它是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组(7.1.03)的n-1个首次积分(7.1.04)来表达其中是任意连续可微n-1元函数.■注:当n=2时,方程(7.1.01)成为(7.1.09)其特征方程组为它有一个首次积分则方程(7.1
5、.09)的通解为(7.1.10)其中是任意连续可微一元函数.注:当n=3时,方程(7.1.01)成为(7.1.11)其特征方程组为它有两个首次则方程(7.1.11)的通解为(7.1.12)其中是任意连续可微二元函数.积分例1.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微一元函数.例2.求解交通流线性关系模型解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微一元函数.再注意到初始条件p(x,0)=f(x),得从而得到方程的解为例3.用特征线
6、法求解一阶齐次线性偏微分方程解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微二元函数.2.一阶非齐次拟线性偏微分方程的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n),b都是n+1个变元x1,x2,…,xn,u的连续函数,且不全为零.考虑形如(7.1.13)设V(x1,x2,…,xn,u)=0是方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,注意到u是x1,x2,…,xn的函数,由隐函数求导法,得到(7.1.14)(7.1.15)(7.1.13)(7.1.15)由(7.1.15)可见,若将V视为关于
7、x1,x2,…,xn,u的函数,(7.1.15)就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分方程.这就证明了,若V(x1,x2,…,xn,u)=C是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,则n+1元函数V(x1,x2,…,xn,u)是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解.(7.1.13)(7.1.15)反过来,假设n+1元函数V(x1,x2,…,xn,u)是(7.1.15)的解,且Vu≠0,所确定的隐函数u=u(x1,x2,…,xn)是方程(7.1.13)的解.则由(7.1.15)和(7.1.14)可以推出由方程
8、(7.1.13)(7.1.15)这样,求解方程(7.1.13)的问题就化成了求解(7.1.15)的问题.(7.1.16)为了求解(7.1.15),先写出其特征方程组为(7.1.15)(7.1.
