《分离变量法》PPT课件(I)

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1、第十章分离变量法前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解定解问题的一种最常用、最基本的方法.分离变量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系下的分离变量法.简介章节安排10.1直角坐标系下的分离变量法10.2极坐标系下的分离变量法10.3球坐标系下的分离变量法10.4柱坐标系下的分离变量法第一节直角坐标系下的分离变量法一．齐次方程

2、及齐次边界条件的定解问题1.两端固定弦的自由横振动问题解：首先将该物理问题转化为数学形式，即列出定解问题回顾常系数线性齐次常微分方程初值问题的求解过程：首先求出方程的足够多个特解（它们能构成通解），然后利用叠加原理将这些特解线性组合起来构成通解，最后代入初始条件确定叠加系数.对于定解问题（1）～（3），由于泛定方程和边界条件都是线性的，因此可以运用叠加原理.仿照常微分方程的求解思路，不妨尝试先寻求齐次方程（1）的满足齐次边界条件（2）的足够多个简单形式（变量分离形式）的特解，再利用叠加原理叠加出

3、一般解，最后代入初始条件（3）确定叠加系数.至于如何求出形式简单的特解，我们可以从物理模型中得到启发.从物理学知道，乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，而每一种单音在振动过程中总是形成一种正弦曲线，而且其振幅仅依赖于时间，即每个单音可表示成：的形式.这种形式的特点是：变量和被分离开了.弦的振动和声音的传播都属于波动，因此，我们有理由认为弦的振动位移也可以分解为一系列变量分离形式的特解的叠加.下面我们求解满足齐次方程（1）及齐次边界条件（2）的具有变量分离形式的非零特解，设为（4）①分离变

4、量由此分离出两个常微分方程（5）（6）（7）注意分离变量之所以能够实现，是因为泛定方程和边界条件都是齐次的.②求解本征值问题（8）代入齐次边界条件（7），得解之，得（9）（10）代入齐次边界（7），得（11）相应地，方程（6）的解为（12）本征值、本征函数③求解关于的常微分方程（13）其通解为（14）④写出特解，并叠加出一般解为了求出原定解问题的解，我们将所有特解叠加起来，得（16）⑤利用初始条件确定叠加系数将(16)代入初始条件(3)，得（17）（18）利用分离变量法求解偏微分方程定解问题几个

5、主要步骤：第一步，分离变量.这一步之所以能够实现，前提条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的；第二步，求解本征值问题.这是求解定解问题的关键一步；第三步，求出全部特解，并叠加出一般解；第四步，利用初始条件确定叠加系数.从整个运算过程来看，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定本征函数以及运用叠加原理.级数解的物理意义（19）其中（20）弦的这种简谐振动模式称为驻波.因此，整个定解问题的解就是一系列具有本征频率的驻波的叠加，而分离变量法也称为驻波法.2.两端自由杆的纵振动问题解：首先，将该物理问题

6、转化为数学形式，即列出定解问题其次，利用分离变量法来求解该定解问题.按照分离变量法的步骤，先以变量分离形式的试探解（24）代入泛定方程（21）和边界条件（22），得(25)(26)条件（26）即为（27）由此分离出两个常微分方程（28）（29）下面求解本征值问题（30）相应的本征函数为（31）将本征值（30）代入方程（28），有（32）其解分别为（33）（34）于是，原定解问题变量分离形式的特解为（35）将所有特解叠加起来，就得到了定解问题的一般解最后，利用初始条件来确定叠加系数.将一般解（36

7、）代入初始条件（23），得（37）将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问题的确定解.物理意义3.有限长杆上的热传导问题解：列出定解问题设变量分离形式的解为代入方程（38）和边界条件（39），得到本征值问题（41）以及常微分方程（42）（43）相应地，本征函数为（44）将本征值（43）代入（42），有（45）解之，得（46）于是，原定解问题的一般解为（47）最后，利用初始条件（40）确定叠加系数.将一般解（47）代入初始条件（40），得（48）（49）于是，得到原定解问题的解（50

8、）4.矩形区域内的稳定问题解：首先列出定解问题图10.1.1我们仍可以尝试利用分离变量法求解该定解问题.以变量分离形式的试探解代入齐次方程(51)和齐次边界条件(52)，得到本征值问题（54）以及常微分方程（55）求解本征值问题（54），得本征值（56）和相应的本征函数（57）将本征值（56）代入方程（55），解得（58）这样，就求出了满足齐次方程（51）和齐次边界条件（52）的具有变量分离形式的特解利用叠加原理，将所有特解叠加起来，即得定解问题的一般解（59）将一般解（59）代入另一组边界条件