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1、数值计算方法第二章非线性方程的数值解法超越方程达到一定精度要求的求方程近似值的方法根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？根的精确化22.1初始近似值的搜索方程的根根的隔离问题32.1.1方程的根代数方程对于一元非线性方程,如果为代数多项式则称为代数方程超越方程超越方程包括指数方程、对数方程和三角方程等方程的根42.1.1方程的根如果存在x*使，则称x*是方程的解或根，也称x*是函数的零点或根如果函数可分解为其中m是大于1的正整数，则称x*是方程的m重根重根的判断条件设函数有m阶连续导数，方程有m重根x*的充要条件是52.1.1方程的根例：求
2、x=0是方程的几重根？解：62.1.1方程的根因此，x=0是的三重根方程求根需要解决的问题根的存在性：方程是否有根，如果有根，有几个根？根的隔离：找出有根区间，把有根区间分成较小的子区间，每个子区间有一个根，将有根区间内的任一点都看成该根的一个初始近似值根的精确化：对已知根的初始近似值，逐步精确化求根的步骤判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值72.1.1方程的根将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果有根区间如果方程在区间[a,b]内至少有一个根，则称[a,b]为有根区间根的隔离求初始近似值，即确定根的大致区间[a,b]，使[a,b]内恰有方程的一个根。这个步骤，叫做根的隔
3、离，这样的区间，叫做隔根区间82.1.1方程的根定理1：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，如果f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一实根x*定理2：设函数f(x)在区间[a,b]上是单调连续函数，并且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]上有且仅有一实根x*92.1.2根的隔离方法画图法abx*f(x)102.1.2根的隔离方法逐步扫描法设单值连续函数f(x)在有根区间[a,b]，从左端点x=a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+h的函数值如果那么所求的根x*必在x0与x0+h之间112.1.
4、2根的隔离方法开始读入a,hax0f(x0)y0x0+hx0f(x0)y0>0打印结束否是继续扫描122.1.2根的隔离方法例：考察方程利用逐步搜索法确定一个有根区间解：注意到f(0)<0,f(+)>0，知f(x)至少有一个正的实根设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的扫描x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋132.2二分法二分法的基本思想就是将方程根所在的区间平分为两个小区间，再判断根属于哪个小区间；把有根的小区间再平分为二，再判断根所在的更小的区间，对分；重复这一过程，最后求出所要的近似值二分法的步骤1．计算f(x)在有解区间[a,b]端点处的函数值，f
5、(a)，f(b)2．计算f(x)在区间中点处的值f(x0)142.2二分法3．判断若f(x0)=0，则即是根，否则检验：（1）若f(x0)与f(a)异号，则知解位于区间[a,x0]，以x0代替b；（2）若f(x0)与f(a)同号，则知解位于区间[x0,b]，x0代替a反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：[a,b],[a1,b1],…,[ak,bk],…，其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间长度为152.2二分法二分法的误差估计由于只要有根区间[ak+1,bk+1]的长度小于预先给定的误差，那么就可以取作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为16打印a,k输入a,
6、b,定义f(x)f(a)f(b)>0k=0f(a)f(b)=0f(a)=0打印b,k结束是是是否否否m=(a+b)/2
7、a-b
8、/2<f(a)f(m)>0打印m,ka=mb=m结束k=K+1是是否否172.2二分法例：证明在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根要二分多少次？证：令，是连续函数在[0,1]单调减少又，在[0,1]有且仅有一个根182.2二分法使用二分法时，误差限为：所以总共需要二分14次192.2二分法例：求方程在区间[1,1.5]内的实根，要求准确到小数点后第2位。解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式202.2二分法kakbkxkf(xk)的
9、符号bk-ak01.00001.50001.2500-0.500011.25001.50001.3750+0.250021.25001.37501.3125-0.125031.31251.37501.3438+0.062541.31251.34381.3282+0.031351.31251.32821.3204-0.015761.32041.32821.3243-0.0078212.3迭代法简单迭代法的原理迭代法的收敛性迭代加速法222.3.1简单迭代法原
