非线性方程的数值解法课件.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法2.1二分法2.2一般迭代法2.3牛顿迭代法2.4弦截法（1）确定初始含根区间数值计算方法主要分为两大类。第一类是区间收缩法。（2）收缩含根区间第二类是迭代法。（1）选定根的初始近似值（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列2.1二分法(对分法)一、根的隔离将含根区间一个个隔开，找到根的范围，使每个区间只有一个根。定理：对f(x)=0,f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0且f(x)严格单调上升（或严格单调下降），则f(x)在[a,b]内仅有一根。1。利用零点存在定理2。搜索法：3。作图找出交点xy二、对分法设f(x)在（a,b)上连续且f(x)

2、=0在（a,b)内只有一个根1。算法2。收敛性根据精度终止计算。3。误差控制例2.1：试用二分法求的非零实根，使其误差小于10-2解：(1)根的隔离取h=0.5(2)预先算出计算步数(3)计算（用表格形式写出来）0(+)1.5(-)21.75+1.7521.875+1.87521.9375–1.8751.93751.90265+1.902651.93751.921875+51.921881.93751.92688+2.1.3二分法评述优点：简单可靠，易于编程实现，它对函数要求低，适用于的奇数重根情形。缺点：不能直接用于求偶重根，不能用于求复根，也难以向方程组推广使用，收敛速度慢。

3、2.2一般迭代法迭代法的算法思想为：(A)把（1）等价变换为如下形式(B)建立迭代格式(C)适当选取初始值x0，递推计算出所需的解。一迭代法的算法思想或更一般地建立迭代格式例由此建立迭代格式也可建立迭代格式-----发散-----收敛二迭代法的收敛性则称在内李普希兹连续。定义2.1设在某个区间内，函数满足下述李普希兹条件：命题得证。证则在内李普希兹连续。命题2.1若在闭区间内连续且（1）首先用数学归纳法证明：由假设知又设，则综上，由归纳法原理知，结论成立。证定理2.1设x=g(x),g(x)在闭区间：内李普希兹连续，则对任何初值由迭代格式xk+1=g(xk)计算得到的解序列

4、收敛于x(这时我们称迭代格式xk+1=g(xk)在x的邻域上局部收敛）。因此，，定理得证。反设存在矛盾。所以结论成立。2)迭代函数在x附近李普希兹连续从而收敛的迭代格式统称为皮卡（Picard）迭代(2)由（1）的结论和g(x)在内李普希兹连续的假设，可递推得到注1)g(x)在内李普希兹连续的条件保证了x为f(x)=0在内的唯一根。证推论设x=g(x)，若g(x)在x附近连续可微且，则迭代格式xk+1=g(xk)在x附近局部收敛。注由于x事先未知，故实际应用时，代之以近似判则。但需注意，这实际上是假设了x0充分接近x，若x0离x较远，迭代格式可能不收敛。定理2.2（非局部

5、收敛定理）如果在上连续可微且以下条件满足：命题2.2若在区间内，则对任何，迭代格式不收敛。发散收敛证明所以该迭代格式在内不收敛，不可取。易知在x>0时g(x)单调增，故有2

6、797090.567560.56006100.5669150.57117四、迭代法的收敛速度与加速收敛技巧则称该迭代格式是p阶收敛的。p=1时称为线性收敛1

7、，如果在根附近f(x)二阶连续，且为f(x)=0的单根，则牛顿迭代法在附近至少是平方收敛的。证首先证明牛顿迭代法的收敛性：因此由定理2.1的推论知，牛顿迭代法局部收敛。其次证明牛顿迭代法的收敛速度：整理得可见，当时，牛顿迭代法为平方收敛；当时，牛顿迭代法超平方收敛。例2.4试用牛顿迭代法求解在区间(2,3)内满足精度要求的根。相应于该方程的牛顿迭代公式为取x0=2，计算结果见表2-4。解0212.10.12.094568121-0.0054318792.094551482-0.0