数值分析非线性方程的数值解法.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法简介（Introduction）我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（thetheoryofdiffractionoflight)中,我们需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（planetaryorbits）的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根（3）在数学中，需要求n次多项式xn+a1xn-1+...+an-1x+an＝0的根求f(x)=0的根§2.1对分区间法(BisectionMethod)原理：若f(x)C[a,b]，

2、且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)上必有一根。abx1x2a1b2x*b1a2停机条件（terminationcondition）：或误差分析：第1步产生的有误差第k步产生的xk有误差对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：例1用二分法求在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解：f(1)=-5<0有根区间中点f(2)=14>0-(1,2)+f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.3

3、44,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)f(1.5)>0(1,1.5)12例2，求方程f(x)=x3–e-x=0的一个实根。因为f(0)<0,f(1)>0。故f(x)在(0,1)内有根用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：kabkxkf(xk)符号0010.5000－10.5000－0.7500－20.7500－0.8750＋3－0.87500.8125＋4－0.81250.7812＋5－0.78120.7656－60.7656

4、－0.7734＋7－0.77340.7695－80.7695－0.7714－90.7714－0.7724－100.7724－0.7729＋取x10=0.7729，误差为

5、x*-x10

6、<=1/211。Remark1：求奇数个根Findsolutionstotheequationontheintervals[0,4]，Usethebisectionmethodtocomputeasolutionwithanaccuracyof10－7.Determinethenumberofiterationstouse..[0

7、,1],[1.5,2.5]and[3,4]，利用前面的公式可计算迭代次数为k=23.Remark2:要区别根与奇异点Considerf(x)=tan(x)ontheinterval(0,3).Usethe20iterationsofthebisectionmethodandseewhathappens.Explaintheresultsthatyouobtained.（如下图）Remark3:二分发不能用来求重根f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点§2.2单个方程的迭代法f(x)=0化为

8、等价方程x=g(x)的方式是不唯一的,有的收敛,有的发散Forexample：2x3-x-1=0(1)如果将原方程化为等价方程由此可见，这种迭代格式是发散的取初值(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值依此类推,得x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000已经收敛,故原方程的解为x=1.0000同样的方程⇒不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?收敛性分析定义2若存在常数(0≤<1),使得对一切x1,x2∈［a,b］,成立不等式

9、g(x1)-g(

10、x2)

11、≤

12、x1-x2

13、，（1）则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射，称为压缩系数考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b](II)在［a,b］上成立不等式：

14、g(x1)-g(x2)

15、≤

16、x1-x2

17、（1）则（1）g在［a,b］上存在惟一不动点x*（2）任取x0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列{xk}（［a,b】）收敛于x*。（3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估计式：（2）（3）定理2.2.1§3Fixed

18、-PointIteration证明：①g(x)在[a,b]上存在不动点？②不动点唯一？③当k时，xk收敛到x*？

19、x*-x′

20、=

21、g(x*)-g(x′)

22、≤

23、x*-x′

24、.因0≤<1，故必有x′=x*若有x′∈［a,b］,满足g(x′)=x′，则

25、xk-x*

26、=

27、g(xk-1)-g(x*)

28、≤

29、xk-1-x*

30、≤2

31、xk-2-x*

32、≤…≤k

33、x0-x*

34、0,