非线性方程的数值解法

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1、非线性方程的数值解法引言在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0(2.1)的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当记笔记非线性方程的数值解法当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,

2、当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法记笔记非线性方程的数值解法通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止2.1迭代法对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,

3、使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。2.3.1迭代法的基本思想为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程(2.3)其中为x的连续函数例4用迭代法求方程在x=1.5附近的一个根解将方程改写成如下两种等价形式相应地可得到两个迭代公式如果取初始值＝1.5，用上述两个迭代公式分别迭代，计算结果见P212.1迭代法即如果数使f(x)=0,则也有,反之,若,则也有,称为迭代函数任取一个初值,代入式的右端,得到再将代入式的右端,得到,依此类推,得到一个数列…，其一般表示式(2.4)称为求解非线性方程的简单迭代法。(2.4)如果由迭代格式产生的序列收敛,即则称迭代法收敛。实际计算

4、中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足即可结束计算并取当然，迭代函数的构造方法是多种多样的。迭代公式收敛（发散）指迭代序列{xk}收敛（发散）。}目录求方程f(x)=x–10x+2=0的一个根，取4位有效数字计算。问题：迭代公式是否一定收敛？因f(0)=1>0,f(1)=-7<0,所以方程在（0，1）中有根。方程改写为两种等价形式：看下例：解对应的迭代公式分别为10x=x+2x=lg(x+2)Home}目录用迭代公式（1）x1=lg3=0.4771,x2=lg(x1+2)=0.3939,….,x6=0.3758,x7=lg(x6+2)=0.3758,…用

5、迭代公式（2）x1=10-2=8,x2=108-2≈108,x3=10108-2≈10108，……x6、x7重合，所以迭代公式（1）是收敛的，x*≈0.3758。迭代公式（2）发散。取x0=1,算得,x0=1,算得Home2.3.3迭代法收敛的条件对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式,但迭代公式并非总是收敛。那么,当迭代函数满足什么条件时，相应的迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很多次，而是迭代有限次后就停止，这就需要估计迭代值的误差，以便适时终止迭代定理2.1设函数在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足（1）对所有的x∈[a,b]有∈[a,b]（2）存在0

6、所有的x∈[a,b]有≤L则方程在[a,b]上的解存在且唯一，对任意的∈[a,b]，迭代过程均收敛于。并有误差估计式①②例求方程x=e–x在x=0.5附近的一个根，按5位小数计算，结果的精度要求为ε=10–3.解方程等价于f(x)=x–e–x=0.由于f(0.5)<0,f(0.6)>0,故x*∈(0.5,0.6),令g(x)=e–x,在(0.5,0.6)内,g(x)的一阶导数连续，且有所以用迭代公式xk+1=e–xk进行计算是收敛的。根据定理2.1的推论}目录Home迭代结果:0123450.50.606530.545240.579700.560070.571170.10653－0.0612

7、90.03446－0.019630.011106789100.564860.568440.566410.567560.56691－0.006310.00358－0.002030.00115－0.00065kxkxk–xk-1xk–xk-1kxk

8、x10-x9

9、=0.00065<ε，}目录故x*≈x10≈0.567xk+1=e–xkx0=0.5,x2=e–x1=0.54524,…….x1=e–x0=0.6065