非线性方程的数值解法

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1、§4牛顿法一、牛顿迭代公式的推导(Taylor展开法)思想：非线性方程线性化（以直代曲）取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，在x0和x之间将(x*x0)2看成高阶小量，则有：令注：牛顿法是一种特殊的迭代法。Newton–Raphson迭代格式称之为牛顿—拉夫森方法，简称牛顿法.xyx*x0与x轴交点的横坐标无开方运算，又无除法运算。例1：写出求的Newton迭代格式；写出求的Newton迭代格式,要求公式中既解：等价于求方程的正根解法一：等价于求方程的正根解法二：等价于求方程的正根Th2.7（局部收敛性）设x*为方程f

2、(x)=0的根，在包含x*的某个开区间内连续，且，则存在x*的邻域，使得任取初值，由Newton’sMethod产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要，则令可得结论。Th2.5有根根唯一产生的序列单调有界保证收敛证明省略。Th2.8（收敛的充分条件）设f(x)=0且fC2[a,b]，若(1)f(a)f(b)<0；(2)在整个[a,b]上不变号且；(3)选取x0[a,b]使得；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛于方程的根.Th2

3、.9（收敛的另一充分条件）设在[a,b]上连续，(1)f(a)f(b)<0；(2)在整个[a,b]上且；(3)，则对，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛于方程在[a,b]内的唯一实根。且证明省略。注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0改进与推广（补充）重根加速收敛法：Q1:若　　　，Newton’sMethod是否仍收敛？设x*是f的n重根，则：且。因为Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代,其中，则A1:有局部收敛性，但重数n越高，收敛越慢。Q2:如何加速重根情况时的收敛速度？A

4、2:将求f的重根转化为求另一函数的单根。令　　　　　，则f的重根=的单根。求复根——Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得§5弦割法与抛物线法x0x1割线切线斜率割线斜率需要2个初值x0和x1。Newton’sMethod每一步要计算，为了避免计算导数值，现用的近似，得到弦割法（割线法）。x2一、弦割法Th2.10局部收敛性设表示区间，x*为方程f(x)=0的根，函数f(x)在中有足够阶连续导数，且满足则对，由割线法产生的序列都收敛于x*，且(i)(ii)(iii)其中收敛速度介

5、于NewtonandBisection之间Corollary(推论)设x*为方程f(x)=0的一个根，，且在x*的附近连续，则使得由SecantMethod产生的序列都收敛于x*。xk-2Muller方法的思想来源于弦割法:利用3个已知点构造一条抛物线,取其与x轴的交点构造下一次迭代值.x*二、抛物线法(Muller)几何图示xkxk-1xk+1Muller方法的具体实现:设已知三个点则过上述三个点的抛物线方程为:取该抛物线与x轴的交点作为下一次迭代值,即然后取新的相邻的三次迭代值重复上述过程,即为Muller方法.Muller方法中抛物线根的计算方

6、法:首先要将抛物线化为规范形式:引入新的变量其中的两个零点为:可以写为：取的两个零点中靠近的那个零点,则有Muller方法的迭代公式为:具体计算步骤见教材P39.算法:Muller方法给定初始近似值x0，x1，x2,求f(x)=0的根.输入:初值x0，x1，x2;容许误差TOL.输出:近似解x.Step1Seti=1;Step4If

7、t4(x2-x1)

8、

9、,x1=x2,x2=x;a=f(x0)t32-f(x1)t3d3+f(x2)t3;Step7gotoStep2.b=f(x0)t32-f(x1)d32+f(x2)(t3+d3);c=f(x2)d3;t4=-2c/[b+sign(b)sqrt(b2-4ac)];x=x2+t4(x2-x1);Th2.5.2（局部收敛性）设，在x*的某邻域内连续，则存在x*的一个邻域，当时,由抛物线法产生的序列收敛于x*，且其中,是方程的根.Muller法的优点：初值的选取范围比Newton法和弦割法宽,但计算量比弦割法大。进一步研究可知Muller法可求复根。