数值分析第7章—非线性方程与方程组的数值解法.ppt

《数值分析第7章—非线性方程与方程组的数值解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、7.1方程求根与二分法设非线性方程为f(x)=0(7-1)方程(2-1)的解称为方程的根或函数f(x)的零点。其中m为大于1的整数,且g(x)≠0,称为方程(7-1)的m重根,或函数f(x)的m重零点.若f(x)为n次多项式,则称f(x)=0为n次代数方程.若f(x)为超越函数,则称f(x)=0为超越方程。若f(x)可表示为第7章非线性方程求根1一、求有根区间的一般方法若f(x)满足条件:(1)在[a,b]内连续,(2)f(a)·f(b)<0,则f(x)=0在[a,b]内必有根.若f(x)在[a,b]内还严格单调,则f

2、(x)=0在[a,b]内只有一根,据此可得求有根区间的两种方法。21.做图法画出y=f(x)的草图,由f(x)与横轴交点的大概位置来确定隔根区间;或者利用导函数的正、负与函数f(x)的单调性的关系确定根的大概位置。若f(x)比较复杂,还可将方程f(x)=0化为一个等价方程(x)=(x),则曲线y=(x)与y=(x)之交点的横坐标即为原方程之根,据此也可通过作图求得的隔根区间。3判别下列方程有几个实根，并求有根区间。(1)f(x)=x3-x-1=0(2)f(x)=x4-4x3+1=0解(1)f(x)=x3-x-1

3、=0将方程变形为x3=x+1例1由图可知,方程只有一个实根所以(1,1.5)即为其有根区间。绘曲线y=x3及y=x+14该二点将实轴分为三个区间:(-∞,0),(0,3)，(3,+∞)(2)方程f(x)=x4-4x3+1=0又知f(–∞)>0,f(0)=1>0,f(3)=-26<0,f(+∞)>0f(x)在此三区间的符号分别为“-”、“-”、“+”由f(x)=4x2(x-3)=0得驻点x1=0,x2=3。5以上分析可用下表表示x(-∞,0)0(0,3)3(3,4)4(4,+∞)f(x)f(x)-↘0+-↘0-+↗

4、+++↗隔根区间(0,3)(3,4)可见f(x)仅有两个实根,分别位于(0,3),(3,+∞),又f(4)=1>0,所以第二根的隔根区间可缩小为(3,4)。62.逐步搜索法(增值寻根法)搜索过程,可从a开始,也可从b开始,这时应取步长h<0。增值寻根法的基本思想是:从初值开始,按规定的一个初始步长h来增值。同时计算.可能遇到三种情形：此时即为方程的根说明区间内无根说明区间内有根7图2-1图2-28三、二分法设方程f(x)=0在区间[a,b]内有且只有一个实根x*。即f(x)满足条件:(1)在[a,b]内连续,(2)f(

5、a)·f(b)<0,(3)f(x)在[a,b]内严格单调。9二分法的步骤：(2)若则令a2=a,b2=x1;(3)若则,令a2=x1,b2=b。记[a,b]=[a1,b1],中点计算f(x1),(1)若f(x1)=0,则x1就是方程的根x*,计算结束;对压缩了的有根区间[a2,b2],实行同样的步骤.若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去。10如此反复进行,可得一系列有根区间套由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[an,bn]的长度为当n→∞时,区间必将最终收缩为一点x*,显然x*就是所求的根。

6、11只要n足够大,即区间二分次数足够多,误差就可足够小。若取区间的中点作为的近似值，则有下述误差估计式12由于在偶重根附近曲线y=f(x)为上凹或下凸,即f(a)与f(b)的符号相同,因此不能用二分法求偶重根.解可知要想满足题意，即：例2用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在上的实根,要求误差不超过0.005。13为所求之近似根。即x*≈1.3242(1)f(a)<0,f(b)>0(2)根据精度要求,取到小数点后四位即可.-+-++--1.251.3751.31251.34381.32811.32031.32421

7、.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.01.251.251.31251.31251.31251.32031234567ann14例3用二分法求在内的一个实根，且要求满足精度解用二分法计算结果如表2-1：150.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.3509

8、81.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111.3751.51.253-1.798671.251.51.022.3751.52.01.01n16-0.007991.3647460941.3652343751.36425781311-0.016051.3642578131.3