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《数值分析第7章非线性方程的数值解法46;》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、在科学研究的数学问题中更多的是非线性问题，它们又常常归结为非线性方程或非线性方程组的求解问题。1第7章 非线性方程与方程组的数值解法/*NumericalSolutionsofNonlinearEquations*/7.1方程求根与二分法7.2不动点迭代法及其收敛性7.3迭代收敛的加速方法7.4牛顿法7.5弦截法与抛物线法7.6求根问题的敏感性与多项式的零点7.7非线性方程组的数值解法27.1方程求根与二分法7.1.1引言（1.1）单变量非线性方程的一般形式其中也可以是无穷区间.f(x)是高次多项式函数或超越函数（1.2）如果函数是多项式函数，即其中为实数，则称方程(1.1)为次代数方程.
2、超越函数不能表示为多项式的函数如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1(x)=e2x+1-xln(sinx)-2高次代数方程超越方程3若是的重零点，且充分光滑，则次方程在复数域有且只有个根（含重根，重根为个根）.超越方程它在整个轴上有无穷多个解，若取值范围不同，解也不同，因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调的定义域，即的求解区间如果实数满足，则称是方程(1.1)的根，或称是的零点.若可分解为其中为正整数，且则称为方程(1.1)的重根，或为的重零点，时为单根.结论4通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行：非线性问题一般不存在直接的求解公式，要使用迭代法.本章将介绍常用的求解非线
3、性方程的近似根的几种数值解法① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止.5如何求方程的有根区间？设f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0,存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.根的存在性定理——闭区间上连续函数的介值定理有根区间如果f(x)在[a,b]上还是单调递增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。(1)描图法画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0等价变形为g1(
4、x)=g2(x)的形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例1求方程3x-1-cosx=0的有根区间。方程等价变形为3x-1=cosx，y=3x-1与y=cosx的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。6对的根进行搜索计算，例2求方程的有根区间.由此可知方程的有根区间为(2)逐步搜索法先确定方程f(x)=0的所有实根所在的区间为[a,b],从x0=a出发,以步长h=(b-a)/n其中n是正整数，在[a,b]内取定节点：xi=x0＋ih(i=0,1,2，……，n)计算f(xi)的值,依据函数值异号及实根的个数确定有根区间,通过调整步长，总可找到所有有根
5、区间。解77.1.2二分法求解方程f(x)=0的近似根的一种常用的简单方法。原理基本思想设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)内必有实根区间。逐步将区间二等分,通过判断区间端点f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根。具体做法8以此类推由二分法的过程知(1)(2)(3)作为根的近似可得一个近似根的序列9（1.3）且(4)只要二分足够多次（即充分大），便有这里为预定的精度.要使解：例3用二分法求方程在区间上的根，误差限为，问至少需对分多少次？10二分法的算法步骤1准备计算在有根区间端点处的值步骤
6、2二分计算在区间中点处的值步骤3判断若，则即是根，计算过程结束，否则检验.若，则以代替，否则以代替.此时中点即为所求近似根.误差，反复执行步骤2和步骤3，直到区间长度小于允许1112例4求方程在区间内的一个实根，要求准确到小数点后第2位.欲使只需，即只要二分6次，便能达到预定的精度.解得到新的有根区间13二分法对多个零点的情况，只能算出其中一个零点。 即使f(x)在[a,b]上有零点，也未必有f(a)f(b)<0。不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单。优点缺点注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序
7、，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。147.2不动点迭代法及其收敛性7.2.1不动点与不动点迭代法/*Fixed-PointIteration*/（2.1）若满足，则；反之亦然，称为函数的一个不动点.求的零点就等价于求的不动点.基本思想（2.2）称为迭代函数.得到的序列有极限如果对任何，由迭代不动点迭代
