《偏微分方程讲义》PPT课件.ppt

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1、偏微分方程讲义建模、数值解和Matlab工具箱温罗生2013.7提纲几个偏微分方程的典型问题建模偏微分方程的基本概念偏微分方程的建模偏微分方程的数值方法偏微分方程求解的数值方法偏微分方程的Matlab求解工具Pdetool的使用方法练习题1.1偏微分方程的基本概念含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。一些常见的偏微分方程：拉普拉斯方程：uxx+uyy+uzz=0适用于重力场或静电场。波动方程式：未知函数

2、u(x,y,z,t):热传导方程式：其中k代表该材料的热导率。泊松方程：适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。1.2偏微分方程的建模例子1，弦的振动方程一根长为L的均匀细线，线密度为ρ(x)，放于x轴上拉紧后，让它离开平衡位置做微小振动。求任意时刻t弦线的位移u(x,t)。使用元素法的思想，在弦上取[x,x+∆x]一段进行分析。因为弦的质量相对于张力非常小，因此可以看成弦仅仅受到两个张力，T(x)和T(x+∆x

3、)，利用力学基本定律，可以得到水平和竖直方向两个方程这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线在竖直方向的加速度。注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小的量，于是前一个方程可以近似为这代表张力和位置无关。直观的理解这是显然的。同时因为α和β都是很小，也有如下的近似关系于是竖直方向的方程可以改写为注意到弧长ds近似等于dx，因此上述方程又可以写成当弦受竖直方向的外力F(x,t)作用时，竖直方向的方程可以写成因此方程可以写成仅仅通过上面的方程并不能完全确定弦的状态，我们必须先给出在初始时刻t=0时的状态，也就是所谓的初始时刻，即也就是给出初始位置和初始速度。根

4、据方程和上面的初始条件，仍然不能决定，还需要给出边界条件。更加具体的情况，一般有三类边界条件，第一类是两个端点固定，也就是第二类边界条件描述端点受到外力作用的情况，有第三类边界条件描述端点受到弹性支撑的情况，结合虎克定理，能得到条件例子2，热传导方程热传导定理的推导依据两个定理，一个是傅里叶定理和能量守恒定理。傅里叶定理说热量从高温区域向低温区域传播，热流强度满足所谓热流强度是单位时间通过单位横截面积的热量。上面dt是时间段，k是热传导系数。是温度场梯度方向面积的投影，u(x,y,z,t)是t时刻在空间点(x,y,z)的温度。取点(x,y,z)的一个小邻域Ω，从时间t1到t2流

5、入该区域的热量为因为该区域的问题升高需要的热量满足再根据能量守恒定理，传入的热量等于温度升高所需要的热量，于是有后一方程进一步使用高斯公式所以有由t和V的任意性知道，被积函数恒为0，特别的，如果k是一个常量时，得到方程当物体有内部热源的时候，方程为因为左边是升高温度需要的热量，右边第一项是传入的热量，第二项是内部热源的效果。类似与弦振动方程，要确定温度，也需要初始条件和边界条件。初始条件第二边界条件，表示表面各点热流已知。第一边界条件，表示表面各点温度已知。第三边界条件，表示外界温度为u1,表面的热量和温度差成正比。2.1一些常见的偏微分方程Poisson方程带有稳定热源或内部

6、无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。下面的方程是Poisson方程的第一边值问题。第二第三边界条件在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。下面是初边值问题Cauchy问题常见的一维振动与波动问题可用该方程表示。下面是初边值问题双曲型方程2.2偏微分方程数值解差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义

7、在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（i）选取网格；（ii）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（iii）求解差分格式；椭圆型方程第一边值问题的差分解法首先将区域通过一系列横纵平行线划分，考察方程在交