偏微分方程数值解ppt课件.ppt

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1、提问：计算方法是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解§1数值计算方法的意义、内容与方法20世纪最伟大的科学技术发明---计算机，计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；算法的研究和应用正是本课程的主题！没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；软件的核心就是算法。算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：

2、“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程一、计算数学的产生和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。二、二十世纪计算数学的发展数值代数最优化计算数值逼近计算几何概率统计计算蒙特卡罗方法微分方程的数值解法微分方程的反演问题数值计算的主要内容数值代数：方程求根、线性方程组求解、特征值和特征向量的计算、非线性

3、方程组的求解；数值逼近：插值、数值微分和积分、最小二乘法；微分方程数值解：常微分方程数值解；偏微分方程数值解：差分法有限元法、有限体积法§2算法一、算法的概念描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？算术方法：若没有小兔，则鸡应是17只总腿数：2＊17＝34一只小

4、兔增加2条腿，应该有只小兔10只小鸡代数方法：设有x只小鸡，y只小兔，(-2)*(i)+(ii),得只小兔高斯消去法二、算法的优劣计算量小存贮量少逻辑结构简单例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法运算。n=20需要运算多少次？n=100?§3误差的背景介绍3.1.来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差）机器字长有限——舍入误差大家一起猜？11/e解法之一：

5、将作Taylor展开后再积分S4R4/*Remainder*/

6、舍入误差/*RoundoffError*/

7、=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起取则称为截断误差/*TruncationError*/由留下部分/*includedterms*/引起例：近似计算据说，美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼

8、堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长:根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的

9、陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。3.2.传播与积累例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一

10、个IN,再反推要求的In(n<