常微分方程3.5-高阶微分方程.ppt

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1、机械振动的模型一个弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体。当物体处于静止状态时（平衡位置）：作用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向向反。向下的重力，弹簧向上的弹力，是弹簧受重力作用后向下拉伸的长度，其中是弹簧的弹性系数，有。1为了研究物体的运动规律，选取平衡位置为坐标原点，取轴垂直向下。当物体处于平衡位置的时候，有，当物体受到的外力作用时，从平衡位置开始运动，代表物体在时刻的位置，当物体开始运动时，受到下面4个力的作用:2(1)物体的重力W=mg，方向是向下的，与坐标轴的方向一致。(4)物体在运动过程中还受到随时间变化的外力F(t)作用，方向可能不确定。依赖F(t)的正负。

2、弹力方向与运动方向相反。(2)弹簧的弹力，(3)空气阻力D，阻力的大小与运动速度成正比，阻力系数为方向与运动方向相反，3因此物体的运动满足二阶线性微分方程(A).我们首先研究没有空气阻力和外力作用的弹簧振动。令.方程的通解：4齐次方程通解改写为：取令。我们可以看到物体的运动：周期震动：振幅是，初相位，振幅和初相位都依赖于初始条件的选择。56(B).现在我们考虑有空气阻力而没有外力作用的弹簧震动。方程的解：特征根：方程的通解改写为：方程的特征方程：当，小阻尼自由振动，7我们令方程的图形:8(C)假如物体在运动的过程中既有空气的阻力我们可以看出弹簧的震动已经不是周期的了，震动的

3、最大偏离随着时间的增加而不断的减小，最后趋于平衡位置。又有周期外力作用，则弹簧震动的方程：9方程的一个特解：因此方程的通解：令10这时方程的特解变为：我们可以看出弹簧的震动由两部分叠加而成。第一部分是有阻尼的自由震动，它是系统本身的固有震动，它随时间的延续而减弱，最后等于0。第二部分是由外力而引起的强迫震动项，它的振幅不随时间的延续而衰减，当时间充分大时，方程的解最终趋向于。这里简化为项。1112两个不同周期的函数。为了方便的看出函数的图形，令(D)现在考虑没有空气阻力而有周期性外力作用的弹簧震动，这个时候物体的运动能够满足方程:当时方程的通解:1314方程的通解为当时，外

4、力的频率与弹簧震动的固有频率相等，这种现象称为共振现象。这个时候弹簧的震动满足的方程：15第一项是一个周期函数，第二项代表振幅在随时间增大而增大的一种震动。在这里为了方便我们容易理解，令从图形可以看出振幅随时间的增大而无限增大，在现实生活中这种现象对我们即有利也有害。1617